三角函數

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三角函數的基本定義[编辑]

圖一

三角函數最一開始是用來表示角度和直角三角形三邊邊長關係的式子,直角三角形中的\sin x\cos x 可由畢氏定理給出它的定義: 若一個直角三角形,它的一個銳角角度為x,此角的對邊為a,另一股為b,斜邊為c(如圖所示),則:

\sin x = \frac {a}{c}

\cos x = \frac {b}{c}

\tan x = \frac {a}{b}

因此得到正弦函數sin x和餘弦函數cos x的定義.

廣義的定義[编辑]

圖二
圖三

三角函數的廣義定義是定義在單位圓(如圖二所示)上的,不管角度為何,廣義的定義皆為其斜邊與X軸的夾角來取其值,且若其斜邊和單位圓的交點為(x,y)(如圖三所示),則:

  • \sin \phi = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}
  • \cos \phi = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}

因此可推出:

0 < \phi \le 90^\circ時,0< \sin \phi \le 10 \le \cos \phi  < 1

90^\circ < \phi \le 180^\circ時,0 \le \sin \phi  < 1-1 \le \cos \phi < 0

180^\circ < \phi \le 270^\circ時,-1 \le \sin \phi  < 0-1 < \cos \phi \le 0

270^\circ < \phi \le 360^\circ時,-1 < \sin \phi \le 00 < \cos \phi \le 1

弧度制與角度制的轉換[编辑]

一个角度制数值所对应的弧度制数值等于单位圆中圆心角角度与该角度制数值相同时该圆心角所对应的弧长。用{rad}表示弧度制数值,用{deg}表示角度制数值,二者转换关系为:

{rad}=\pi{\frac{deg}{180^{\circ}}}

常用的弧度转换公式:

2\pi \leftrightarrow 360^{\circ}
\pi \leftrightarrow 180^{\circ}
\frac{\pi}{2} \leftrightarrow 90^{\circ}
\frac{\pi}{3} \leftrightarrow 60^{\circ}
\frac{\pi}{4} \leftrightarrow 45^{\circ}
\frac{\pi}{6} \leftrightarrow 30^{\circ}

主要的公式[编辑]

平方相加[编辑]

\cos^2 \theta + \sin^2 \theta=1

和角公式[编辑]

\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha \cos\beta\pm\cos\alpha \sin\beta

\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha \cos\beta\mp\sin\alpha \sin\beta

\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha \tan\beta}

倍角公式 & 半角公式[编辑]

2倍角公式:

\sin2\theta = 2\sin\theta \cos\theta

\cos2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta=2\cos^2 \theta-1=1-2\sin^2 \theta

\tan2\theta = \frac{2\tan\theta}{1- \tan^2 \theta}

3倍角公式:

\cos3\theta=4\cos^3\theta -3\cos\theta

\sin3\theta=-4\sin^3 \theta +3\sin\theta

半角公式:

\sin\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt\frac{1-\cos\theta}{2}

\cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt\frac{1+\cos\theta}{2}

\tan\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt\frac{1-\cos\theta}{1+cos\theta}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}

和差化積和積化和差[编辑]

積化和差:

\sin\alpha\cos\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}

\cos\alpha\sin\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{2}

\cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}

\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}

和差化積:

\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

其他公式[编辑]

万能公式:

\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2 \alpha}

\cos2\alpha=\frac{1-\tan^2 \alpha}{1+\tan^2 \alpha}

\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2 \alpha}

平方差公式:

\sin(\alpha+\beta)\cdot \sin(\alpha-\beta)=\sin^2 \alpha-\sin^2 \beta

\cos(\alpha+\beta)\cdot \cos(\alpha-\beta)=\cos^2 \alpha-\sin^2 \beta

降次升角公式:

\cos^2 \alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}

\sin^2 \alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}

辅助角公式:

a \sin\alpha + b \cos\alpha=\sqrt{a^2 +b^2}\cdot\sin\left(\alpha+\arctan\frac{b}{a}\right)

三角函數的一些進階定理[编辑]

正弦定理:

若為任意三角形的三邊,A,B,C分別為a,b,c的對角,R為此三角形的外接圓半徑,則存有以下關係式: \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} =2R=\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}

由勾股定理得 sin^2\theta+cos^2\theta=1 当θ的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立。

根据三角函数的定义,当θ≠kπ+\frac{\pi}{2}(k∈z)时,有 \frac{sin\theta}{cos\theta}=tan\theta

这就是说,同一个角θ的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角θ的正切。

三角分析[编辑]

面积公式:

S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{abc}{4R}=2R^2 \sin A\sin B\sin C

三角形形状的判定:

1) c为三角形ABC最大边时

a^2 +b^2 =c^2 三角形ABC为直角三角形

a^2 +b^2 >c^2 三角形ABC为锐角三角形

a^2 +b^2 <c^2 三角形ABC为钝角三角形

2) A<B 推出 \sin A<\sin B

三角函數應用[编辑]

三角測量[编辑]

其他應用[编辑]

習題[编辑]

附錄─三角函數表[编辑]

角度(度) sin cos tan
0.0000 0.0000 1.0000 0.0000
1.0000 0.0175 0.9998 0.0175
2.0000 0.0349 0.9994 0.0349
3.0000 0.0523 0.9986 0.0524
4.0000 0.0698 0.9976 0.0699
5.0000 0.0872 0.9962 0.0875
6.0000 0.1045 0.9945 0.1051
7.0000 0.1219 0.9925 0.1228
8.0000 0.1392 0.9903 0.1405
9.0000 0.1564 0.9877 0.1584
10.0000 0.1736 0.9848 0.1763
11.0000 0.1908 0.9816 0.1944
12.0000 0.2079 0.9781 0.2126
13.0000 0.2250 0.9744 0.2309
14.0000 0.2419 0.9703 0.2493
15.0000 0.2588 0.9659 0.2679
16.0000 0.2756 0.9613 0.2867
17.0000 0.2924 0.9563 0.3057
18.0000 0.3090 0.9511 0.3249
19.0000 0.3256 0.9455 0.3443
20.0000 0.3420 0.9397 0.3640
21.0000 0.3584 0.9336 0.3839
22.0000 0.3746 0.9272 0.4040
23.0000 0.3907 0.9205 0.4245
24.0000 0.4067 0.9135 0.4452
25.0000 0.4226 0.9063 0.4663
26.0000 0.4384 0.8988 0.4877
27.0000 0.4540 0.8910 0.5095
28.0000 0.4695 0.8829 0.5317
29.0000 0.4848 0.8746 0.5543
30.0000 0.5000 0.8660 0.5774
31.0000 0.5150 0.8572 0.6009
32.0000 0.5299 0.8480 0.6249
33.0000 0.5446 0.8387 0.6494
34.0000 0.5592 0.8290 0.6745
35.0000 0.5736 0.8192 0.7002
36.0000 0.5878 0.8090 0.7265
37.0000 0.6018 0.7986 0.7536
38.0000 0.6157 0.7880 0.7813
39.0000 0.6293 0.7771 0.8098
40.0000 0.6428 0.7660 0.8391
41.0000 0.6561 0.7547 0.8693
42.0000 0.6691 0.7431 0.9004
43.0000 0.6820 0.7314 0.9325
44.0000 0.6947 0.7193 0.9657
45.0000 0.7071 0.7071 1.0000
46.0000 0.7193 0.6947 1.0355
47.0000 0.7314 0.6820 1.0724
48.0000 0.7431 0.6691 1.1106
49.0000 0.7547 0.6561 1.1504
50.0000 0.7660 0.6428 1.1918
51.0000 0.7771 0.6293 1.2349
52.0000 0.7880 0.6157 1.2799
53.0000 0.7986 0.6018 1.3270
54.0000 0.8090 0.5878 1.3764
55.0000 0.8192 0.5736 1.4281
56.0000 0.8290 0.5592 1.4826
57.0000 0.8387 0.5446 1.5399
58.0000 0.8480 0.5299 1.6003
59.0000 0.8572 0.5150 1.6643
60.0000 0.8660 0.5000 1.7321
61.0000 0.8746 0.4848 1.8040
62.0000 0.8829 0.4695 1.8807
63.0000 0.8910 0.4540 1.9626
64.0000 0.8988 0.4384 2.0503
65.0000 0.9063 0.4226 2.1445
66.0000 0.9135 0.4067 2.2460
67.0000 0.9205 0.3907 2.3559
68.0000 0.9272 0.3746 2.4751
69.0000 0.9336 0.3584 2.6051
70.0000 0.9397 0.3420 2.7475
71.0000 0.9455 0.3256 2.9042
72.0000 0.9511 0.3090 3.0777
73.0000 0.9563 0.2924 3.2709
74.0000 0.9613 0.2756 3.4874
75.0000 0.9659 0.2588 3.7321
76.0000 0.9703 0.2419 4.0108
77.0000 0.9744 0.2250 4.3315
78.0000 0.9781 0.2079 4.7046
79.0000 0.9816 0.1908 5.1446
80.0000 0.9848 0.1736 5.6713
81.0000 0.9877 0.1564 6.3138
82.0000 0.9903 0.1392 7.1154
83.0000 0.9925 0.1219 8.1443
84.0000 0.9945 0.1045 9.5144
85.0000 0.9962 0.0872 11.4301
86.0000 0.9976 0.0698 14.3007
87.0000 0.9986 0.0523 19.0811
88.0000 0.9994 0.0349 28.6363
89.0000 0.9998 0.0175 57.2900
90.0000 1.0000 0.0000 未下定义