函數的連續性

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目录 1 极限的补充说明 1.1 函数的左极限定义 1.2 函数的右极限定义 1.3 函数极限存在的等价条件 2 连续的定义与性质 2.1 定义 2.1.1 函数在某点上连续的定义 2.1.2 函数在开区间上连续的定义 2.1.3 函数在闭区间上连续的定义 2.2 闭区间上连续函数的性质 2.2.1 最大最小值性质 2.2.2 零点定理 2.2.3 介值定理 3 一致连续 3.1 定义 3.2 性质 3.2.1 一致连续与连续的关系 3.2.2 康托尔（Cantor）定理 4 函数的间断点 4.1 第一类间断点 4.1.1 可去间断点 4.1.2 跳跃间断点 4.2 第二类间断点 5 初等函数的连续性 6 典型函数的连续性问题 6.1 荻里克莱（Dirichlet）函数 6.1.1 第一种表达方法 6.1.2 第二种表达方法 6.1.3 连续性 6.2 黎曼（Riemann）函数 6.2.1 表达式 6.2.2 连续性

[编辑] 极限的补充说明

[编辑] 函数的左极限定义

设函数在的某个去心邻域的左半区间内有定义。若，总有，使得当满足时，必有：

则称函数趋于常数的左极限是，通常记作：

[编辑] 函数的右极限定义

设函数在的某个去心邻域的右半区间内有定义。若，总有，使得当满足时，必有：

则称函数趋于常数的右极限是，通常记作：

[编辑] 函数极限存在的等价条件

函数在点处（其中）的极限是否存在等价于函数的左极限与右极限都存在且相等；与函数在点处是否有定义无关。例如：

函数在点0处没有定义，但其在点0处的极限存在。

[编辑] 连续的定义与性质

[编辑] 定义

[编辑] 函数在某点上连续的定义

1.左连续：设函数在点处有定义，在点处左极限存在，并且满足：

则称函数在点处左连续。

2.右连续：设函数在点处有定义，在点处右极限存在，并且满足：

则称函数在点处右连续。

3.连续：函数在点处连续等价于函数同时满足点处的左连续性与右连续性。以上条件可表述为：

[编辑] 函数在开区间上连续的定义

设满足；若函数在开区间内每一点都连续，则称函数在该开区间上连续，记作：

[编辑] 函数在闭区间上连续的定义

设满足；若函数在开区间内每一点都连续，且函数在点上右连续，在点上左连续，则称在闭区间上连续，记作：

[编辑] 闭区间上连续函数的性质

[编辑] 最大最小值性质

若函数在闭区间上连续，则恒满足有。

[编辑] 零点定理

若函数在闭区间上连续，且，则满足。

[编辑] 介值定理

若函数在闭区间上连续，且，则满足。

[编辑] 一致连续

[编辑] 定义

设函数在区间上有定义。若，，对所有满足且的都有：

则称函数在区间上一致连续。

[编辑] 性质

[编辑] 一致连续与连续的关系

函数在区间上一致连续在区间上连续（反之未必成立）。

[编辑] 康托尔（Cantor）定理

函数函数在闭区间上一致连续。

[编辑] 函数的间断点

[编辑] 第一类间断点

[编辑] 可去间断点

若函数在点处的极限存在，但在点处无定义，或者是有定义，不过，则称点为函数的可去间断点。

[编辑] 跳跃间断点

若函数在点处满足条件：与均存在，但，则称点为函数的跳跃间断点。

[编辑] 第二类间断点

若函数在点处的左右极限至少有一个不存在，则称点为函数的第二类间断点。

[编辑] 初等函数的连续性

所有初等函数都在其定义区间内连续。

[编辑] 典型函数的连续性问题

[编辑] 荻里克莱（Dirichlet）函数

[编辑] 第一种表达方法

，

[编辑] 第二种表达方法

[编辑] 连续性

用函数极限的定义很容易看出荻里克莱函数在实数域上每一点的左右极限都不存在，所以荻里克莱函数在实数域上每一点都不连续，每一点都属于第二类间断点。

[编辑] 黎曼（Riemann）函数

[编辑] 表达式

式中表示与的最大公约数是1，表示不包含0的整数范围。

[编辑] 连续性

这是一个周期函数，1是其周期；在内讨论该函数连续性即可。
根据函数极限定义可知此函数在实数域上每一点的极限都是0，所以黎曼函数在每一无理数点上连续，在每一有理数点上不连续，而且都是可去间断点。