極限
维基教科书，自由的教学读本
读者朋友请注意，本文有较多的公式，请将浏览器的字体调大(20号左右)，以便阅读，谢谢！
目录 |
[编辑] 極限的概念
[编辑] 數列的極限
若數列 An 有上界L，且 an + 1 > An ，則數列An 的極限 
，意即若 
，則 M 的值不大於L
[编辑] 数列有界性的定义
若
使得数列{
}恒满足
，则称数列{}有下界；若
使得数列{}恒满足
，则称数列{}有上界；若且使得数列{}恒满足
，则称数列{}有界。
[编辑] 数列极限的定义
设{}是一组数列，
为常数，且
，若
，当 
时，下面不等式：
恒成立，则称数列{}的极限存在，并称常数
为数列{}的极限，通常记作：
此时也称{}是一个收敛的数列。
[编辑] 性质
[编辑] 唯一性
若数列{}收敛，则{}的极限值是唯一的。
[编辑] 有界性
若数列{}收敛，则{}是有界数列。
[编辑] 保序性
若数列{}与{
}都有极限。当
时恒有
，若
且
，则必有
。
[编辑] 斯铎兹（Otto-Stolz）法则
[编辑] 法则一
设
，
，且数列{}单调递减。则当极限
存在时，极限
存在，且
；当
时，有
。
[编辑] 法则二
设
，数列{}单调递增，则当极限
存在时，极限存在，且
；当
时，有。
[编辑] 函數的極限
一個函數f(x)，若當x→c時，f(x)→L，意即當x在f(x)上越來越趨近c時，f(x)的值越來越趨近L，一般記做
[编辑] 函数极限的定义
[编辑] 自变量趋于常数的极限
设函数
在
的某个去心邻域
内有定义。若
，总有
，
使得当
满足
时，必有：
则称函数趋于常数
的极限是
，通常记作：
[编辑] 自变量趋于无穷的极限
1. 对于函数，若且
，总
，当
时必然满足：
则称函数趋于正无穷大的极限是，通常记作：
2. 对于函数，若且，总
，当
时必然满足：
则称函数趋于负无穷大的极限是，通常记作：
3. 对于函数，若且，总
，当
时必然满足：
则称函数趋于无穷大的极限是，通常记作：
[编辑] 性质
[编辑] 唯一性
若函数存在极限，则极限值唯一。
[编辑] 局部保序性
1. 设
，
，若，当
时，都有
，则
。
2. 设
，
，若，当时，都有，则。
3. 设
，
，若，当时， 都有，则。
[编辑] 保号性（也称正负不变性）
若
且
，则在的某个去心邻域内存在一个区间
满足当
时，的值的正负性与保持一致。
[编辑] 海涅（Heine–Cantor）定理
设函数在的某个去心邻域内有定义，则：
其中数列{
}是的某个去心邻域内任意一个收敛于的数列，且
。
[编辑] 罗比达法则 (l'Hôpital's rule)
若函数 与 
在 a 的一个去心邻域内可导且 
，
与 的值同时等于0或同时趋于无穷，并且 
存在或趋于无穷，则：
[编辑] 几个常用的极限
1. 设函数
其中
，则有
。
2. 设数列{}恒满足
，则有
，其中
是自然对数的底数，
。
3. 设函数
其中，则有
。
4. 设函数
其中，则有
。
[编辑] 无穷的阶
[编辑] 无穷大与无穷小的概念
1. 无穷小：通常称以0为极限的变量或函数为无穷小。
2. 无穷大：若函数在
（或
）时，
的值无穷增大，则称函数在（或）时为无穷大。通常记作：
（或者
）。
[编辑] 高阶、低阶与同阶
为了方便下面的讨论，现在将
与
（其中
），用符号
来统一表示。
[编辑] 无穷小的高阶、低阶与同阶
1.高阶无穷小：若
且
（在极限附近处满足
），当
时，称是的高阶无穷小。通常记作：
（或者）
2.低阶无穷小：若且（在极限附近处满足
），当
时，称是的低阶无穷小。
3.同阶无穷小：若且（在极限附近处满足），当
（其中）时，称是的同阶无穷小。
4.阶数：若且（在极限附近处满足），当
（其中
）时，称是的
阶无穷小，是无穷小的阶数。
[编辑] 无穷大的高阶、低阶与同阶
1.高阶无穷大：若
且
（在极限附近处必须满足），当时，称是的高阶无穷大。
2.低阶无穷大：若且（在极限附近处必须满足），当时，称是的低阶无穷大。
3.同阶无穷大：若且（在极限附近处必须满足），当（其中）时，称是的同阶无穷大。
4.阶数：若且（在极限附近处必须满足），当（其中）时，称是的阶无穷大，是无穷大的阶数。
[编辑] 等价无穷
[编辑] 等价无穷大
若且（在极限附近处必须满足），当
时，称是的等价无穷大。
[编辑] 等价无穷小
若且（在极限附近处必须满足），当
时，称是的等价无穷小。
[编辑] 極限與連續
參見函數的連續性
[编辑] 習題
- 设数列an等于( − 1)n + 1，问此数列的极限是否存在？
- 求以下数列的极限，（下式中n是正整数）
?
