积分列表

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积分

以下列出一些常用的积分.

符号意义

为简便见, 以下 n 和 c 代表一个常数、x 是变数、f 和 g 是 x 的函数. 不定积分的常数项將不会列出.

不定积分

多项式、指数及对数

• $\int {c\;dx} = cx$
• $\int {x^c dx} = {{x^{c + 1} } \over {c + 1}}$ (若 c ≠- 1)
• $\int {{1 \over x}dx} = \ln \left| x \right|$

 

• $\int {e^x dx} = e^x$
• $\int {c^x dx} = {{c^x } \over {\ln c}}$
• $\int {\ln x\;dx} = x\left( {\ln x - 1} \right)$
• $\int {\log _c x\;dx} = {{x\left( {\ln x - 1} \right)} \over {\ln c}}$

三角函数及反三角函数

• $\int {\sin x\;dx} = - \cos x$
• $\int {\cos x\;dx} = \sin x$
• $\int {\tan x\;dx} = \ln \left| {\sec x} \right|$
• $\int {\cot x\;dx} = \ln \left| {\sin x} \right|$
• $\int {\sec x\;dx} = \ln \left| {\sec x + \tan x} \right|$
• $\int {\csc x\;dx} = \ln \left| {\tan {x \over 2}} \right|$

 

• $\int {\sin ^2 x\;dx} = {{2x - \sin 2x} \over 4}$
• $\int {\cos ^2 x\;dx} = {{2x + \cos 2x} \over 4}$
• $\int {\tan ^2 x\;dx} = \tan x - x$
• $\int {\cot ^2 x\;dx} = - \cot x - x$
• $\int {\sec ^2 x\;dx} = \tan x$
• $\int {\csc ^2 x\;dx} = - \cot x$

 

• $\int {\sin ^3 x\;dx} = {{\cos ^3 x - 3\cos x} \over 3}$
• $\int {\cos ^3 x\;dx} = {{3\sin x - \sin ^3 x} \over 3}$
• $\int {\tan ^3 x\;dx} = {{\sec ^2 x - \ln \sec ^2 x} \over 2}$
• $\int {\cot ^3 x\;dx} = {{\ln \csc ^2 x - \csc ^2 x} \over 2}$

 

• $\int {\sin ^{ - 1} x\;dx} = x\sin ^{ - 1} x + \sqrt {1 - x^2 }$
• $\int {\cos ^{ - 1} x\;dx} = x\cos ^{ - 1} x - \sqrt {1 - x^2 }$
• $\int {\tan ^{ - 1} x\;dx} = x\tan ^{ - 1} x - \ln \sqrt {1 + x^2 }$
• $\int {\cot ^{ - 1} x\;dx} = x\cot ^{ - 1} x + \ln \sqrt {1 + x^2 }$

双曲函数及反双曲函数

• $\int {\sinh x\;dx} = \cosh x$
• $\int {\cosh x\;dx} = \sinh x$
• $\int {\tanh x\;dx} = \ln {\mathop{\rm sech}} x$
• $\int {\coth x\;dx} = \ln \left| {\sinh x} \right|$
• $\int {{\mathop{\rm sech}} x\;dx} = \sin ^{ - 1} \tanh x = 2\tan ^{ - 1} e^x$
• $\int {{\mathop{\rm csch}} x\;dx} = \ln \left| {\tanh {x \over 2}} \right| = - 2\coth ^{ - 1} e^{\left| x \right|}$

 

• $\int {\sinh ^{ - 1} x\;dx} = x\sinh ^{ - 1} x - \sqrt {x^2 + 1}$
• $\int {\cosh ^{ - 1} x} = x\cosh ^{ - 1} x \mp \sqrt {x^2 - 1}$

其它形式

• $\int {{{dx} \over {n^2 x^2 + c^2 }}} = {1 \over {nc}}{\tan ^{ - 1} {{nx} \over c}}$
• $\int {{{dx} \over {n^2 x^2 - c^2 }}} = - {1 \over {nc}}{\tanh ^{ - 1} {{nx} \over c}}$

 

• $\int {{{dx} \over {\sqrt {x^2 + c^2 } }}} = \sinh ^{ - 1} {x \over c}$
• $\int {{{dx} \over {\sqrt {x^2 - c^2 } }}} = \ln \left( {x + \sqrt {x^2 - c^2 } } \right)$
• $\int {{{dx} \over {\sqrt {c^2 - x^2 } }}} = \sin ^{ - 1} {x \over c}$

 

• $\int {{{dx} \over {x\sqrt {x^2 + c^2 } }}} = - {1 \over c}\ln \left( {{{c + \sqrt {c^2 + x^2 } } \over x}} \right)$
• $\int {{{dx} \over {x\sqrt {x^2 - c^2 } }}} = - {1 \over c}\sec ^{ - 1} {x \over c}$
• $\int {{{dx} \over {x\sqrt {c^2 - x^2 } }}} = - {1 \over c}\ln \left( {{{c + \sqrt {c^2 - x^2 } } \over x}} \right)$

分部积分法

• $\int {fg'\;dx} = fg - \int {f'g\;dx}$

定积分

• $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}$
• $\int_0^{+\infty} x^n e^{-\lambda x} dx = \lambda^{-(n+1)}n!$ ($\lambda>0$)