複數

複數（Complex number），是一種「複合的數」，由實數和虛數單位$i$所組成。所有的複數都可表達成$a+bi$。

虛數單位

為何需要虛數單位

• 解方程：$x^2 = -1$

從以上一元二次方程的判別式$b^2-4ac=0-4(1)(1)=-4$中，我們可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數，大概答至這裏便可了。若果你學了虛數，又應怎樣答呢？

你應答$x=i$或$-i$，其中$i$是常數，其值為$\sqrt{-1}$，稱為虛數單位。

在古代，數學的應用大多用不着複數，因此人們並沒有對複數進行研究。

運算

$\sqrt{-9} = 3i$

$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$

$\sqrt{-x} = \sqrt{x}i$，其中$x \ge 0$

$\sqrt{-9} \times \sqrt{-2} = 3i \times \sqrt{2}i = - \sqrt{18}$

切記以下的計法不正確：

$\sqrt{-9} \times \sqrt{-2} = \sqrt{(-9)(-2)} = \sqrt{18}$。

$\sqrt{x} \times \sqrt{y} = \sqrt{xy}$只能應用於$x,y \ge 0$時，因為負數的開方是不連續的。

練習

若$n$是整數，試計算以下的值：

1. $i^{4n}$
2. $i^{4n+1}$
3. $i^{4n+2}$
4. $i^{4n+3}$

複數的表示：實部、虛部、軛、模

所有複數都可以表示成$a+bi$，其中$a,b$是實數。$a$稱為實部，而$bi$稱為虛部。例如$3+4i$的實部就是$3$，虛部是$4i$。

一個複數$a+bi$的軛（Conjugates）是$a-bi$，$3+4i$的軛就是$3-4i$。如果某個複數是一條二次方程的根，其軛就是另一個根。例如$x^2 - 6x + 25 = 0$的根就是$3+4i$和$3-4i$。

複數$z$的軛寫作$\bar{z}$。複數和其軛相乘，即$z \times \bar{z} = (a+bi)(a-bi)=a(a)+a(bi)-a(bi)-(bi)(bi)=a^2+b^2$，是一個實數。將複數和軛相加，$z + \bar{z} = (a+bi)+(a-bi)=2a$，亦是一個實數，是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減，$z - \bar{z} = (a+bi)-(a-bi)=2bi$，會得到其虛部的兩倍。 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$稱為$a+bi$的模或絕對值。

運算

四則運算

在四則運算上，複數運算和一般運算無甚差異：

• 加、減法：實部加實部，虛部加虛部：$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
• 乘法：$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^2+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i$
• 除法：可將分母「實數化」，方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分：$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$

例：$\frac{(1-2i)(3+4i)-(5+6i)}{7+8i}=\frac{11-2i-(5+6i)}{7+8i}$ $=\frac{6-8i}{7+8i}=\frac{(6-8i)(7-8i)}{(7+8i)(7-8i)}=\frac{-22-104i}{113}=- \frac{22+104i}{113}$

開方

要找一個複數的開$n$次冪，可以先求$(a+bi)^n$的展開式，再對應欲開$n$次冪的複數的虛部和實數求解。

例：$x^2=i$，求$x$。

$(a+bi)^2=a^2+2abi+(bi)^2=(a^2-b^2)+(2ab)i$

$i = 0+1i$

$a^2-b^2=0 ; 2ab=1$

解方程得$a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$a=b=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此，$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$或$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$

冪、對數

參見#冪、對數的計算。

複數平面

歐拉公式

冪、對數的計算

等式$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$称为复数的欧拉公式（Euler's complex number formula）。 當x為π時, $e^{i\pi} + 1 = 0$ 这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数：ｅ，ｉ，π，１，０，连起来.

練習解答

練習一

1. 1
2. i
3. -1
4. -i

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複數 (數學)