複數

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複數 (數學)

複數可定義為兩實數\left. a,b\right.的序對，其中此序對滿足以下規律：

  • \left. (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\right.
  • \left. (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)\right.

一般複數採用符號i，通常定義i = \sqrt{-1}，或\left. i^2 = -1\right.，而由此定義出發所構成的數\left. a + ib\right.亦滿足以上所定義的序對的規律

複數數域採用符號\mathbb{C}

目录

[编辑] 複數的性質

對於複數\left. u,v,w,\right.有以下的性質：

  • 加法交換律\left. u + v = v + u\right.
  • 加法結合律\left.(u + v)+ w = u + (v + w)\right.
  • 乘法交換律\left.uv = vu\right.
  • 乘法結合律：\left. u(vw) = (uv)w\right.
  • 分配律：\left. (u + v)w = uw + vw \right.；\left. u(v + w)= uv + uw\right.

注意：不能比對兩個複數的大小，因為大小關係是定義在實數之上的一種關係，也因此複數沒有正負之分。

[编辑] 棣美弗定理

對於任意複數z，可表為z=\left| z\right| (\cos x + i \sin x)，其中\left. z=a+ib\right.，\left. x = {\tan}^{-1} \frac{b}{a}\right.

以此表示法表示的複數有性質如下：

當n為實數，z為以上所講的複數時

z^n = \left| z\right|^n(\cos x + i \sin x)^n = \left| z\right|^n(\cos nx + i \sin nx)

這個性質在解任意複數(包括實數在內)z的n次方根時相當地有用

另一方面，複數可表示成以e為底指數函數（歐拉公式）：

\left| z\right| (\cos x + i \sin x) = e^{ix + \ln \left| z\right|}

[编辑] 欧拉公式

根据泰勒公式，e^{x}=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}和\sin (x)=\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}以及\cos (x)=\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}有：

e^{iz}=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{(iz)^n}{n!} =\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!} +i\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!} =\cos (z) + i\sin (z)

\Rightarrow \left| \alpha \right| e^{i\beta} = \left| \alpha \right| \cos (\beta) + i\sin (\beta)

[编辑] 复数的乘幂与开方

若\left. z=x+iy\right.，设\left| z\right|=r，\theta =\arctan \frac{y}{x}则：

z^{n}=r^{n}e^{i\cdot n\theta}
\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{2k\pi + \theta}{n}}（其中\left. k=0,1,\cdots n-1\right.）


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