複數

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複數(Complex number),是一種「複合的數」,由實數和虛數單位i所組成。所有的複數都可表達成a+bi

虛數單位[编辑]

為何需要虛數單位[编辑]

  • 解方程:x^2 = -1

從以上一元二次方程的判別式b^2-4ac=0-4(1)(1)=-4中,我們可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數,大概答至這裏便可了。若果你學了虛數,又應怎樣答呢?

你應答x=i-i,其中i是常數,其值為\sqrt{-1},稱為虛數單位

在古代,數學的應用大多用不着複數,因此人們並沒有對複數進行研究。

運算[编辑]

\sqrt{-9} = 3i
\sqrt{-2} = \sqrt{2}i
\sqrt{-x} = \sqrt{x}i,其中x \ge 0
\sqrt{-9} \times \sqrt{-2} = 3i \times \sqrt{2}i = - \sqrt{18}

切記以下的計法不正確:

\sqrt{-9} \times \sqrt{-2} = \sqrt{(-9)(-2)} = \sqrt{18}

\sqrt{x} \times \sqrt{y} = \sqrt{xy}只能應用於x,y \ge 0時,因為負數的開方是不連續的。

練習[编辑]

n是整數,試計算以下的值:

  1. i^{4n}
  2. i^{4n+1}
  3. i^{4n+2}
  4. i^{4n+3}

複數的表示:實部、虛部、軛、模[编辑]

所有複數都可以表示成a+bi,其中a,b是實數。a稱為實部,而b稱為虛部。例如3+4i的實部就是3,虛部是4

一個複數a+bi(Conjugates)是a-bi3+4i的軛就是3-4i。如果某個複數是一條二次方程的根,其軛就是另一個根。例如x^2 - 6x + 25 = 0的根就是3+4i3-4i

複數z的軛寫作\bar{z}。複數和其軛相乘,即z \times \bar{z} = (a+bi)(a-bi)=a(a)+a(bi)-a(bi)-(bi)(bi)=a^2+b^2,是一個實數。將複數和軛相加,z + \bar{z} = (a+bi)+(a-bi)=2a,亦是一個實數,是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減,z - \bar{z} = (a+bi)-(a-bi)=2bi,會得到其虛部的兩倍。 |z| = \sqrt{a^2 + b^2}稱為a+bi絕對值

練習[编辑]

運算[编辑]

四則運算[编辑]

在四則運算上,複數運算和一般運算無甚差異:

  • 加、減法:實部加實部,虛部加虛部:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
  • 乘法:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^2+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i
  • 除法:可將分母「實數化」,方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分:\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}

例:\frac{(1-2i)(3+4i)-(5+6i)}{7+8i}=\frac{11-2i-(5+6i)}{7+8i} =\frac{6-8i}{7+8i}=\frac{(6-8i)(7-8i)}{(7+8i)(7-8i)}=\frac{-22-104i}{113}=- \frac{22+104i}{113}

開方[编辑]

要找一個複數的開n次冪,可以先求(a+bi)^n的展開式,再對應欲開n次冪的複數的虛部和實數求解。

例:x^2=i,求x

(a+bi)^2=a^2+2abi+(bi)^2=(a^2-b^2)+(2ab)i
i = 0+1i
a^2-b^2=0 ; 2ab=1

解方程得a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}a=b=-\frac{\sqrt{2}}{2},因此,x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}ix=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i

冪、對數[编辑]

參見#冪、對數的計算

複數平面[编辑]

有序對[编辑]

單位圓[编辑]

歐拉公式[编辑]

等式e^{ix} = \cos x + i\;\sin x称为复数的欧拉公式(Euler's complex number formula)。 當x為π時, e^{i\pi} + 1 = 0 这是一道被誉为美妙无比的式子,因等式将数学内五个极重要的数:e,i,π,1,0,连起来.

冪、對數的計算[编辑]

棣美弗公式[编辑]

幾何上的應用[编辑]

向量[编辑]

复数的向量为z=根号(a^2+b^2)

變換[编辑]

位移[编辑]

旋轉[编辑]

例子[编辑]

凡·奧貝爾定理的證明[编辑]

高斯整數、艾森斯坦整數[编辑]

質數[编辑]

練習解答[编辑]

練習一[编辑]

  1. 1
  2. i
  3. -1
  4. -i
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