訊號與系統/第三章連續時間系統之時域分析/3.4 零狀態響應－LTI系統之重疊積分

零狀態響應(Zero-State Response)

LTI系統之重疊積分(Superposition Integral)

數學推導 :

    (1)利用單位脈衝函數的篩選特性(sifting property) ，任意輸入

訊號 $\mathbf {x} (t)$ 可表示成 : $\mathbf {\int } _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau$

    (2)經由LTI系統作用後的輸出 $\mathbf {y} (t)$  為

$\mathbf {T} [x(t)]=T[\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau ]$

    (3)假設〝積分〞和LTI系統〝T〞的作用順序可對調，則

$\mathbf {y} (t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )T[\delta (t-\tau )]\,d\tau$

    (4)由於非時變的特性可知， $\mathbf {T} [\delta (t-\tau )]=h(t-\tau )$

$\mathbf {y} (t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau$

以系統物理特性推導 :

(1)由下圖可知，LTI系統的任意輸入訊號 $\mathbf {x} (t)$ 可用單位脈波函數 $\mathbf {r} ect(t)$ 所形成之階梯函數(stairstep function)來近似

$\mathbf {\hat {x}} (t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\triangle \lambda )rect({t-n\triangle \lambda \over \triangle \lambda })$

$=\mathbf {\sum } _{n=-\infty }^{\infty }x(n\triangle \lambda ){1 \over \triangle \lambda }rect({t-n\triangle \lambda \over \triangle \lambda })\triangle \lambda$

其中 $\mathbf {r} ect({t-a \over \tau })=u[t-(a-{\tau \over 2})]-u[t-(a+{\tau \over 2})]$

(2)明顯地， $\mathbf {\hat {x}} (t)$ 會趨近 $\mathbf {x} (t)$ 當 $\mathbf {\Delta } \lambda$ 趨近為 0

(3) $\mathbf {\lim } _{\Delta \lambda \to 0}{rect[(t-n\Delta \lambda )/\Delta \lambda ] \over \Delta \lambda }=\delta (t-\lambda )$

注意 : 當 $\mathbf {\Delta } \lambda \to 0$ 時， $\mathbf {n} \Delta \lambda$ 用 $\mathbf {\lambda }$ 替代

(4) 假設 $\mathbf {\hat {h}} (t)=T[{rect(t/\Delta \lambda ) \over \Delta \lambda }]$ 當 $\mathbf {\Delta } \lambda \to 0$

$\mathbf {\lim } _{\Delta \lambda \to 0}{\hat {h}}(t)=\lim _{\Delta \lambda \to 0}T[{rect(t/\Delta \lambda ) \over \Delta \lambda }]$

$\mathbf {=} T[\lim _{\Delta \lambda \to 0}{rect(t/\Delta \lambda ) \over \Delta \lambda }]$

$\mathbf {=} T[\delta (t)]$

$\mathbf {=} h(t)$

(5)考慮LTI系統對 $\mathbf {\hat {x}} (t)$ 的響應 : 假設 $\mathbf {\hat {h}} (t)=T[{rect(t/\Delta \lambda ) \over \Delta \lambda }]$

$\mathbf {\hat {y}} (t)=T[{\hat {x}}(t)]$

$\mathbf {=} T[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\Delta \lambda ){1 \over \Delta \lambda }rect({t-n\Delta \lambda \over \Delta \lambda })\Delta \lambda ]$

(線性系統滿足重疊定理)

$\mathbf {=} \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\Delta \lambda )T[{1 \over \Delta \lambda }rect({t-n\Delta \lambda \over \Delta \lambda })]\Delta \lambda$

(非時變特性)

$\mathbf {\sum } _{n=-\infty }^{\infty }x(n\Delta \lambda ){\hat {h}}(t-n\Delta \lambda )\Delta \lambda$

(6)取 $\mathbf {\Delta } \lambda \to 0$

$\mathbf {\Rightarrow } n\Delta \lambda \to \lambda ,{\hat {x}}(t)\to x(t),{\hat {h}}\to h(t)$

$\mathbf {\lim } _{\Delta \lambda \to 0}{\hat {y}}(t)=\lim _{\Delta \lambda \to 0}T[{\hat {x}}(t)]$

$\mathbf {=} T[\lim _{\Delta \lambda \to 0}{\hat {x}}(t)]$

$\mathbf {=} T[x(t)]$

$\mathbf {=} y(t)$

範例3.9

系統輸入為 $\mathbf {x} (t)=(t+10)e^{-0.4(t+10)}u(t+10)$ ，系統之單位脈衝響應為 $\mathbf {h} (t)=e^{-t}u(t)$ ，求系統輸出 $\mathbf {y} (t)$ 。

範例3.10

考慮一系統的單位脈衝響應為 $\mathbf {h} (t)={1 \over RC}e^{-t/RC}$ ，令輸入訊號為單位步階函數 $\mathbf {x} (t)=u(t)$ ，試求系統的輸出 $\mathbf {y} (t)$ 。

【解】

$y(t)\mathbf {=} \int _{-\infty }^{\infty }u(t-\tau )h(\tau )\,d\tau$

$\mathbf {=} \int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau$

$\mathbf {=} \int _{-\infty }^{t}{1 \over RC}e^{-\tau /RC}u(\tau )\,d\tau$

$\mathbf {\int } _{0}^{t}{1 \over RC}e^{-\tau /RC}\,d\tau$

$\mathbf {=} 1-e^{-t/RC}$

注意：此一輸出也稱為系統的單位步階響應(unit step response)

且 $\mathbf {y} (t)=\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau$

線性時變系統之重疊積分

●非時變系統之單位脈衝響應：

$\mathbf {\delta } (t)\to T\to h(t)$

$\mathbf {\delta } (t-\lambda )\to T\to h(t-\lambda )$

●時變系統之單位脈衝響應：

$\mathbf {\delta } (t)\to T\to h(t,0)$

$\mathbf {\delta } (t-\lambda )\to T\to h(t,\lambda )$

可知： (1) $\mathbf {h} (t,0)=h(t)$ (2) $\mathbf {h} (t,\lambda )=0$ $\mathbf {t} <\lambda$

(假設在 $\mathbf {\delta } (\lambda )$ 輸入前，系統是rest)

●任意輸入訊號 $\mathbf {x} (t)$ ，則系統的響應(輸出)為：

$\mathbf {y} (t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )h(t,\lambda )\,d\lambda$