邏輯通路/三角形投影公式

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投影公式

在 △ABC 中，若設三邊長為：

$a=\overline{BC}, b=\overline{CA}, c=\overline{AB}$

則：

$\begin{cases} a=b \cos C + c \cos B \\ b=c \cos A + a \cos C \\ c=a \cos B + b \cos A \end{cases}$

我們將說明為甚麼 $a = b cos C + c cos B$ ，至於其他兩個公式，因為證法一樣，所以就不再重複了。

在上圖中， $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ ，因此

$\frac{\overline{BD}}{c}=\cos B \Rightarrow \overline{BD}=c \cos B$

$\frac{\overline{DC}}{b}=\cos C \Rightarrow \overline{DC}=b \cos C$

所以

$a=\overline{BD}+\overline{DC}=c \cos B + b \cos C$

[编辑] 其他情況

（圖二） $\angle B$ 是鈍角， $\angle C$ 是銳角

（圖三） $\angle B$ 是銳角， $\angle C$ 是鈍角

當然三角形也可能呈現如右圖二或右圖三的情況，但並不影響本公式的正確性。以下我們只討論（圖二）的情況：在（圖二）中，

$c \cos B = - \overline{BD}$

$b \cos C = \overline{CD}$

因此

$b \cos C + c \cos B = \overline{CD}-\overline{BD}= \overline{BC}$

所以本公式又再一次得到驗證。

（圖三）的情況請讀者自行驗證。

如果 $\angle B$ 或 $\angle C$ 是 $90^\circ$ 的話，那麼本公式很明顯還是對的，請讀者自行驗證。

$D=\frac{(b \cos C)B +(c \cos B)C}{a}$

利用「餘弦定理」證明