邏輯通路/垂心公式

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垂心座標

假設

\vec a = \overrightarrow{BC},\vec b = \overrightarrow{CA},\vec c = \overrightarrow{AB}

則

H=\frac{\alpha A + \beta B + \gamma C}{\alpha + \beta + \gamma}

其中

\begin{matrix} \alpha = (\vec a \cdot \vec b)(\vec a \cdot \vec c) \\ \beta = (\vec b \cdot \vec c)(\vec b \cdot \vec a) \\ \gamma = (\vec c \cdot \vec a)(\vec c \cdot \vec b) \end{matrix}

你必須先知道：邏輯通路/向量內積、分點公式、三角形投影公式

我們知道 △ABC 的重心座標計算公式是：

\frac{A+B+C}{3}

內心座標計算公式是：

\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}


那麼如果我們知道 A、B、C 的座標的話，垂心座標又該如何計算呢？從右圖中，我們可以看出來：F 是 A、B 的分點，H 是 F、C 的分點，所以我們打算利用「分點公式」來計算 H 的座標。

假設

a=\overline{BC}, b=\overline{CA}, c=\overline{AB}

首先我們先計算 \overline{AF} 與 \overline{FB} 的量[1]:

因為

\frac{\overline{AF}}{\overline{AC}}=\cos A

所以

\overline{AF}=\overline{AC} \cos A=b \cos A

同理，因為

\frac{\overline{FB}}{\overline{CB}}=\cos B

所以

\overline{FB}=\overline{CB} \cos B=a \cos B


註釋：

  1. ↑ 此處的計算牽涉到 cos 函數，所以會有正負的問題（銳角為正，鈍角為負），因此我們並不只是單純的計算「長度」而已。
取自“http://zh.wikibooks.org/wiki/%E9%82%8F%E8%BC%AF%E9%80%9A%E8%B7%AF/%E5%9E%82%E5%BF%83%E5%85%AC%E5%BC%8F”