邏輯通路/孟氏定理

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假設 A、B、C 為（平面上或空間中）不共線三點，D、E、F 分別為直線 $\overset{\longleftrightarrow}{\text{BC}},\;\overset{\longleftrightarrow}{\text{CA}},\;\overset{\longleftrightarrow}{\text{AB}}$ 上異於 A、B、C 的三點，則我們可以推得下列的事實：

D、E、F 三點共線 $\Longleftrightarrow\left({\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{DC}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{EA}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{FB}}}\right)=-1$

此公式牽涉到「有向比」，如果對有向比不熟悉的讀者，請查閱「邏輯通路/有向比」。

[编辑] 證明

我們先證明如果 D、E、F 三點共線的話，則上面所提的三個「有向比」的乘積為 -1。

如右圖，我們從 A、B、C 分別作垂線到直線 DEF 上。假設它們的垂足分別為 G、H、I，根據「有向比性質 (1)」，我們可以得知：

$\dfrac{\overrightarrow{\mbox{BD}}}{\overrightarrow{\mbox{DC}}}=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{BH}}}{\overrightarrow{\mbox{IC}}},\quad\dfrac{\overrightarrow{\mbox{CE}}}{\overrightarrow{\mbox{EA}}}=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{CI}}}{\overrightarrow{\mbox{GA}}},\quad \dfrac{\overrightarrow{\mbox{AF}}}{\overrightarrow{\mbox{FB}}}=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{AG}}}{\overrightarrow{\mbox{HB}}}$

所以，

	$\left({\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{DC}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{EA}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{FB}}}\right)$
=	$\left({\frac{\overrightarrow{BH}}{\overrightarrow{IC}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{CI}}{\overrightarrow{GA}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{AG}}{\overrightarrow{HB}}}\right)$
=	$\left({\frac{\overrightarrow{CI}}{\overrightarrow{IC}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{AG}}{\overrightarrow{GA}}}\right)\left({\frac{\overrightarrow{BH}}{\overrightarrow{HB}}}\right)$	..... 根據「有向比性質 (2)」
=	(-1)(-1)(-1)
=	-1