三角函数

维基教科书，自由的教学读本

跳转到： 导航, 搜索

首页 > 维基书架 > 数学书架 > 三角函数

Wikipedia-logo.png
维基百科中的相关条目：
三角函数

目录

[编辑] 三角函数的基本定义

图一

三角函数最一开始是用来表示角度和直角三角形三边边长关系的式子，直角三角形中的Sin x和Cos x可由毕氏定理给出它的定义： 若一个直角三角形，它的一个锐角角度为x，此角的对边为a，另一股为b，斜边为c(如图所示)，则：

\sin x = \frac {a}{c}

\cos x = \frac {b}{c}

\tan x = \frac {a}{b}

因此得到正弦函数sin x和余弦函数cos x的定义

[编辑] 广义的定义

图二
图三

三角函数的广义定义是定义在单位圆(如图二所示)上的，不管角度为何，广义的定义皆为其斜边与X轴的夹角来取其值，且若其斜边和单位圆的交点为(x,y)(如图三所示)，则：

  • \sin \phi = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}
  • \cos \phi = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}

因此可推出：

当0 < \phi \le 90^\circ时，0< \sin \phi \le 1且0 \le \cos \phi < 1

当90^\circ < \phi \le 180^\circ时，0 \le \sin \phi < 1且-1 \le \cos \phi < 0

当180^\circ < \phi \le 270^\circ时，-1 \le \sin \phi < 0且-1 < \cos \phi \le 0

当270^\circ < \phi \le 360^\circ时，-1 < \sin \phi \le 0且0 < \cos \phi \le 1

[编辑] 弧度制与角度制的转换

一个角度制数值所对应的弧度制数值等于单位圆中圆心角角度与该角度制数值相同时该圆心角所对应的弧长。用rad表示弧度制数值，用deg表示角度制数值，二者转换关系为：

{rad}=\pi{\frac{deg}{180^{\circ}}}

常用的弧度转换公式：

2\pi \leftrightarrow 360^{\circ}
\pi \leftrightarrow 180^{\circ}
\frac{\pi}{2} \leftrightarrow 90^{\circ}
\frac{\pi}{3} \leftrightarrow 60^{\circ}
\frac{\pi}{4} \leftrightarrow 45^{\circ}
\frac{\pi}{6} \leftrightarrow 30^{\circ}

[编辑] 主要的公式

[编辑] 和角公式

sin(\alpha\pm\beta)=sin\alpha cos\beta\pm\cos\alpha sin\beta

cos(\alpha\pm\beta)=cos\alpha cos\beta\mp\sin\alpha sin\beta

tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha tan\beta}

[编辑] 倍角公式 & 半 角公式

2 倍角公式:

sin2θ = 2sinθcosθ

cos2θ = cos2θ − sin2θ = 2cos2θ − 1 = 1 − 2sin2θ

tan2\theta = \frac{2tan\theta}{1- tan^2 \theta}

3 倍角公式:

cos3θ = 4cos3θ − 3cosθ

sin3θ = − 4sin3θ + 3sinθ

半 角公式:

sin\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt\frac{1-cos\theta}{2}

cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt\frac{1+cos\theta}{2}

tan\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt\frac{1-cos\theta}{1+cos\theta}=\frac{\sin\theta}{1+cos\theta}=\frac{1-cos\theta}{\sin\theta}

[编辑] 和差化积和积化和差

积化和差:

sin\alpha*cos\beta=\frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta))

cos\alpha*sin\beta=\frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta))

cos\alpha*cos\beta=\frac{1}{2}(cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta))

sin\alpha*sin\beta=\frac{-1}{2}(cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta))

和差化积:

sin\alpha+sin\beta=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}

sin\alpha-sin\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}

cos\alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}

cos\alpha-cos\beta=-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}

[编辑] 其他公式

万能公式：

sin2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1+tan^2 \alpha}

cos2\alpha=\frac{1-tan^2 \alpha}{1+tan^2 \alpha}

tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2 \alpha}

平方差公式：

sin(\alpha+\beta)\cdot sin(\alpha-\beta)=sin^2 \alpha-sin^2 \beta

cos(\alpha+\beta)\cdot cos(\alpha-\beta)=cos^2 \alpha-sin^2 \beta

降次 升角公式

cos^2 \alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2}

sin^2 \alpha=\frac{1-cos2\alpha}{2}

辅助角公式

a \sin\alpha + b \cos\alpha=\sqrt{a^2 +b^2}\sin(\alpha+arctan\frac{b}{a})


[编辑] 三角函数的一些初等定理

正弦定理：

若a,b,c为任意三角形的三边，A,B,C分别为a,b,c的对角，R为此三角形的外接圆半径，则存有以下关系式： \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} =2R=\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}

余弦定理：

若a,b,c为任意三角形的三边，且C为边c的对角，则存在以下关系式： \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

另一版本的叙述如下：

若a,b,c为三角形的三边，A,B为a,b的对角，则：

c = acosB + bcosA


同角三角函数的基本关系：

由勾股定理得 sin2θ + cos2θ = 1 当θ的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。

根据三角函数的定义，当θ≠kπ+\frac{π}{2}（k∈z）时，有 \frac{sin\theta}{cos\theta}=tan\theta

这就是说，同一个角θ的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角θ的正切。

[编辑] 三角分析

面积公式：

S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{abc}{4R}=2R^2 \sin A\sin B\sin C

三角形形状的判定:

1) c为三角形ABC最大边时

a2 + b2 = c2 三角形ABC为直角三角形

a2 + b2 > c2 三角形ABC为锐角三角形

a2 + b2 < c2 三角形ABC为钝角三角形

2) A<B 推出 sinA < sinB

[编辑] 三角函数应用

[编辑] 三角测量

[编辑] 其他应用

[编辑] 习题

[编辑] 附录─三角函数表

角度(度) sin cos tan
0.0000 0.0000 1.0000 0.0000
1.0000 0.0175 0.9998 0.0175
2.0000 0.0349 0.9994 0.0349
3.0000 0.0523 0.9986 0.0524
4.0000 0.0698 0.9976 0.0699
5.0000 0.0872 0.9962 0.0875
6.0000 0.1045 0.9945 0.1051
7.0000 0.1219 0.9925 0.1228
8.0000 0.1392 0.9903 0.1405
9.0000 0.1564 0.9877 0.1584
10.0000 0.1736 0.9848 0.1763
11.0000 0.1908 0.9816 0.1944
12.0000 0.2079 0.9781 0.2126
13.0000 0.2250 0.9744 0.2309
14.0000 0.2419 0.9703 0.2493
15.0000 0.2588 0.9659 0.2679
16.0000 0.2756 0.9613 0.2867
17.0000 0.2924 0.9563 0.3057
18.0000 0.3090 0.9511 0.3249
19.0000 0.3256 0.9455 0.3443
20.0000 0.3420 0.9397 0.3640
21.0000 0.3584 0.9336 0.3839
22.0000 0.3746 0.9272 0.4040
23.0000 0.3907 0.9205 0.4245
24.0000 0.4067 0.9135 0.4452
25.0000 0.4226 0.9063 0.4663
26.0000 0.4384 0.8988 0.4877
27.0000 0.4540 0.8910 0.5095
28.0000 0.4695 0.8829 0.5317
29.0000 0.4848 0.8746 0.5543
30.0000 0.5000 0.8660 0.5774
31.0000 0.5150 0.8572 0.6009
32.0000 0.5299 0.8480 0.6249
33.0000 0.5446 0.8387 0.6494
34.0000 0.5592 0.8290 0.6745
35.0000 0.5736 0.8192 0.7002
36.0000 0.5878 0.8090 0.7265
37.0000 0.6018 0.7986 0.7536
38.0000 0.6157 0.7880 0.7813
39.0000 0.6293 0.7771 0.8098
40.0000 0.6428 0.7660 0.8391
41.0000 0.6561 0.7547 0.8693
42.0000 0.6691 0.7431 0.9004
43.0000 0.6820 0.7314 0.9325
44.0000 0.6947 0.7193 0.9657
45.0000 0.7071 0.7071 1.0000
46.0000 0.7193 0.6947 1.0355
47.0000 0.7314 0.6820 1.0724
48.0000 0.7431 0.6691 1.1106
49.0000 0.7547 0.6561 1.1504
50.0000 0.7660 0.6428 1.1918
51.0000 0.7771 0.6293 1.2349
52.0000 0.7880 0.6157 1.2799
53.0000 0.7986 0.6018 1.3270
54.0000 0.8090 0.5878 1.3764
55.0000 0.8192 0.5736 1.4281
56.0000 0.8290 0.5592 1.4826
57.0000 0.8387 0.5446 1.5399
58.0000 0.8480 0.5299 1.6003
59.0000 0.8572 0.5150 1.6643
60.0000 0.8660 0.5000 1.7321
61.0000 0.8746 0.4848 1.8040
62.0000 0.8829 0.4695 1.8807
63.0000 0.8910 0.4540 1.9626
64.0000 0.8988 0.4384 2.0503
65.0000 0.9063 0.4226 2.1445
66.0000 0.9135 0.4067 2.2460
67.0000 0.9205 0.3907 2.3559
68.0000 0.9272 0.3746 2.4751
69.0000 0.9336 0.3584 2.6051
70.0000 0.9397 0.3420 2.7475
71.0000 0.9455 0.3256 2.9042
72.0000 0.9511 0.3090 3.0777
73.0000 0.9563 0.2924 3.2709
74.0000 0.9613 0.2756 3.4874
75.0000 0.9659 0.2588 3.7321
76.0000 0.9703 0.2419 4.0108
77.0000 0.9744 0.2250 4.3315
78.0000 0.9781 0.2079 4.7046
79.0000 0.9816 0.1908 5.1446
80.0000 0.9848 0.1736 5.6713
81.0000 0.9877 0.1564 6.3138
82.0000 0.9903 0.1392 7.1154
83.0000 0.9925 0.1219 8.1443
84.0000 0.9945 0.1045 9.5144
85.0000 0.9962 0.0872 11.4301
86.0000 0.9976 0.0698 14.3007
87.0000 0.9986 0.0523 19.0811
88.0000 0.9994 0.0349 28.6363
89.0000 0.9998 0.0175 57.2900
90.0000 1.0000 0.0000 未下定义
取自“http://zh.wikibooks.org/zh-cn/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B8”