不等式

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若两个式子或式子对数字有大小的关系，且并不一定对等时，用来表示两者间关系的式子称之

[编辑] 一些初等的不等式

[编辑] 均值不等式

若有n个正实数 $a 1, a 2, a 3,......, a n$ ，且他们的算术平均数为A，几何平均数为G，则有关系式 $A \ge G$ ，等号成立时当且仅当 $a 1 = a 2 = a 3 = ...... = a n$

[编辑] 证明

1. 先证明 n=2 时，即 $\frac{a_1 + a_2}{2} \ge \sqrt{a_1 a_2}$

$\frac{(a+b)}{2-(ab)^{0.5}} = \Bigg[ \frac{a + b - 2(ab)^{0.5}}{2} \Bigg] = \Bigg[ \frac{(a^{0.5} - b^{0.5})^2}{2} \Bigg] \ge 0$

$\therefore \frac{a_1 + a_2}{2} \ge \sqrt{a_1 a_2}$

2. 由此可推得当 n=2^k (k为自然数)时成立。即 n=2,4,8,16,32…… 时成立。（对对比较后再捉对比较，容易证明）

3. 当 n 为任意自然数的证明比较复杂巧妙。是由 2. 推得：

设

n + p = 2 k

， $A = \frac{a_1 + a_2 + a_3\cdots+ a_n}{n}$

$\frac{a_1 + a_2 +\cdots+a_n+ \overbrace{A+A+A\cdots}^{p}}{2^k} \geqslant \sqrt[2^k]{a_1 a_2 \cdots a_n \cdot AAA \cdots}$

$\frac{a_1 + a_2 +\cdots+a_n+p \cdot A }{2^k} \geqslant \sqrt[2^k]{a_1 a_2 \cdots a_n \cdot A^p}$

$\left ( \frac{nA + pA}{n+p} \right )^{n+p} \geqslant a_1 a_2 \cdots a_n \cdot A^p$

$A^{n+p} \geqslant a_1 a_2 \cdots a_n \cdot A^p$

$A^n \cdot A^p \geqslant a_1 a_2 \cdots a_n \cdot A^p$

$A \geqslant \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$

即 $\frac{a_1 + a_2 + a_3 +\cdots+a_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$

$\therefore$ 当n为任意自然数时，该命题均成立得证

[编辑] Headline text

 初级不等式
1)A-B>0,则A>B.
2)ab>0,则A.B同号
3）AB<0,则A.B异号

[编辑] 柯西不等式

若有2个实数数对，且两个数对皆有n个数，现在假设这两个数对分别为 $a 1, a 2, a 3,..., a n$ 和 $b 1, b 2, b 3,..., b n$ ，则存在有关系式 $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 , ... + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + ... + b_n^2)$ ，或写作 $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 , ... + a_n b_n)^2 / (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + ... + b_n^2)\le 1$ 。等号成立当且仅当 $a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = ... = a n / b n$

[编辑] 证明

构作二次函数 $f(x) = (a_1x-b_1)^2 + (a_2x-b_2)^2 + ... (a_nx-b_n)^2 = (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2)x^2 - 2(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 , ... + a_n b_n)x + (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + ... + b_n^2)$ ，由于 $f (x)$ 的每一项都是完全平方式，它最多只有一个实根。考虑它的判别式： $(2(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 , ... + a_n b_n))^2-4(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + ... + b_n^2)\le 0$ 得到 $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 , ... + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + ... + b_n^2)$ 。同时知道 $f (x)$ 有实根当且仅当它的每一个完全平方式可以同时等于0，即它们的根相同，又即 $a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = ... = a n / b n$

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