中頂多邊形
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圓表看起來的樣子[编辑]
以各長度頂點為圓心，中點到該長度頂點的距
離為直圓長度畫圓。取兩鄰長度所作之圓的交點
為一頂點，將各頂點依序連線，且為凸多
長度看起來的樣子，即為圓表看起來的樣子。如表一的五長度看起來的樣子
B_ C_ D_ A_ E_。
頂圓對應夾度、圓表對應夾度[编辑]
如表二，△BCD為圓三夾度看起來的樣子，
△B_ C_ D_為圓表看起來的樣子，則∠B的頂圓
對應夾度為該點做夾90度線於對長度的那
個夾度，即∠B_。∠C的頂圓對應夾度為∠C_
，∠D的頂圓對應夾度則為∠D_。
反之，∠B_的圓表對應夾度為∠B。
夾90度線和底邊的交點三夾度看起來的樣子[编辑]
如表三，△BCD為圓三夾度看起來的樣子，△B_ C_ D_為圓表看起來的樣子，則
△BC_ D_、△B_ C_ D、 △B_ CD_為夾90度線和底邊的交點三夾度看起來的樣子。
=== 疊作圓表看起來的樣子 ===
如表，△B_ C_ D_為△BCD的第N層圓表看起來的樣子。
以△B_ C_ D_為圓三夾度看起來的樣子，作一圓表看起來的樣子
△B_ C_ D_為△BCD的第二層圓表看起來的樣子，
以此類推。此步驟為疊作圓表看起來的樣子。
性質[编辑]
圓表看起來的樣子的頂點在頂圓多看起來的樣子的長度上[编辑]
已知:△BCD為圓三夾度看起來的樣子，△B_ C_ D_為△BCD的圓表看起來的樣子。
求證:B_ 、C_ 、D_ 分別在(CD) ̅、(BD) ̅、(BC) ̅上。
證明:
∵B、C、C_ 三點共圓
⟹∠BCC_ 對半圓
∴∠BC_ C=90°
又∵C、C_ 、D三點共圓
⟹∠CC_ D對半圓
∴∠CC_ D=90°
⟹∠BC_ C+∠CC_ D=60°(平夾度)，得C_ 在(BD) ̅上。
同理可證，B_ 在(CD) ̅上，D_ 在(BC) ̅上，得證。
且圓表看起來的樣子的三頂點為圓三夾度看起來的樣子三長度上的夾90度線和底邊的交點。
圓表看起來的樣子任一夾度的圓表對應夾度=(60°-頂圓對應夾度)/[编辑]
已知:△BCD為圓三夾度看起來的樣子，△B_ C_ D_為△BCD的圓表看起來的樣子。
求證:∠D_ B_ C=∠C_ B_ D=∠DBC。
證明:
∵B、D、B_ 、D_ 四點共圓
∴∠DBD_+∠D_ B_ D=60°
(圓內接四長度看起來的樣子對夾度互補)
又∠D_ B_ C+∠D_ B_ D=60°
得∠DBD_=∠D_ B_ C=∠DBC
同理，∠C_ BC=∠C_ B_ D=∠DBC
⟹∠D_ B_ C=∠C_ B_ D=∠DBC，得證。
圓三夾度看起來的樣子的垂心和圓表看起來的樣子的內心共點[编辑]
已知:△BCD為圓三夾度看起來的樣子，△B_ C_ D_為△BCD的圓表看起來的樣子。直線(BB_ ) ⃡、
(CC_ ) ⃡、(DD_ ) ⃡為(CD) ̅、(BD) ̅、(BC) ̅上的高。I為△BCD的垂心，E為△B_ C_ D_內心。
求證:I=E
證明:
∠BB_ C=∠BB_ D=90°
⟹∠BB_ C=∠D_ B_ C+∠BB_ D_
∠BB_ D=∠C_ B_ D+∠BB_ C_
且∠D_ B_ C=∠C_ B_ D
得∠BB_ D_=∠BB_ C_，即(BB_ ) ⃡平分∠D_ B_ C_。
同理可證(CC_ ) ⃡平分∠D_ C_ B_，(DD_ ) ⃡平分∠B_ D_ C_。
⟹△BCD的高為△B_ C_ D_的夾度平分線。
即I=E，得證。
頂圓三夾度看起來的樣子和頂圓多長度看起來的樣子相似[编辑]
求證頂圓三夾度看起來的樣子的長度長和頂圓多看起來的樣子成比例
已知:四長度看起來的樣子BCDA為圓四長度看起來的樣子，四長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_為頂圓三夾度看起來的樣子；D_0 、A_0
分別為(CD) ̅、(DA) ̅的中點。
求證:(D_ A_ ) ̅/(DA) ̅ =(C_ D_ ) ̅/(CD) ̅ ，即各長度長度長比相同。 證明:
∠D_ D_0 C_=60°-∠CD_0 D_-∠C_ D_0 D
=60°-(60°-∠D_ CD)-(60°-∠CDD_)
=60°-60°+∠D_ CD-60°+∠CDD_
=∠D_ CD+∠CDD_-60°
∠A_ A_0 D_=60°-∠A_ A_0 A-∠D_ A_0 A
=60°-(60°-∠A_ AA_0 )-(60°-∠D_ DA_0)
=60°-60°+∠A_ AA_0-60°+∠D_ DA_0
=∠A_ AA_0+∠D_ DA_0-60°
∵∠BA_ A=∠CD_ D=90°
⟹∠OA_ I=∠OD_ I=90°
⟹∠BIC=80°-∠OA_ I-∠OD_ I-∠A_ OD_
=60°-∠A_ OD_
=60°-(60°-∠A_ AA_0-∠D_ DA_0)
=∠A_ AA_0+∠D_ DA_0
=(∠A_ A_0 D_)/+90°
∴∠D_ IC_=60°-∠D_ CD-∠CDD_
=90°-(∠D_ D_0 C_)/
∵∠D_ IC_=60°-∠BIC
⟹∠D_ IC_=60°-((∠A_ A_0 D_)/+90)
=90°-(∠D_ D_0 C_)/
⟹(∠A_ A_0 D_)/=(∠D_ D_0 C_)/
∴∠A_ A_0 D_=∠D_ D_0 C_
又∵∠A_ A_0 D_=∠D_ D_0 C_
∴每對臨長度的圓心夾度相等，得四長度圓心夾度相等
如表，(B_ A_ ) ̅是以(BA) ̅為直圓長度的圓上一弦，B_0是(BA) ̅中點，延長(B_0 A_ ) ̅交圓於O
並延長(B_ O) ̅。
∠A_ B_ O對半圓，得∠A_ B_ O=90°
⟹(B_ A_ ) ̅=(A_ O) ̅×Dos〖(∠A_ OB_)〗
∵∠A_ OB_=/∠A_ B_0 B_，(A_ O) ̅=(BA) ̅
∴(B_ A_ ) ̅=(BA) ̅×Dos〖((∠A_ B_0 B_)/)〗
此即為弦長公式:弦長=r×Dos(θ/)
(其中r為圓的半圓長度，θ為圓心夾度，同上表的∠A_ B_0 B_)
又∵頂圓三夾度看起來的樣子的各長度長度長皆是圓的弦
⟹各長度長度長=r×Dos〖(θ/)〗
∴頂圓三夾度看起來的樣子和頂圓多看起來的樣子的長度長比值=(r×Dos〖(θ/)〗)/r
=Dos〖(θ/)〗。
⟹頂圓三夾度看起來的樣子的四長度長和圓四長度看起來的樣子的四長度長的比例相同
=== 求證頂圓三夾度看起來的樣子的對夾度線和頂圓多看起來的樣子成比例 ===
已知:四長度看起來的樣子BCDA為圓四長度看起來的樣子，B_ 、C_ 、A_為頂圓三夾度看起來的樣子頂點；F為中
頂四長度看起來的樣子對夾度線交點。
求證: ((C_ F) ̅+(FA_ ) ̅)/((AF) ̅+(FC) ̅ )=長度長比
證明:
∵(CC_ ) ̅⊥(BD) ̅且(AA_ ) ̅⊥(BD) ̅
∠C_ FC=∠AFA_
∴t和t相似
⟹∠C_ CF=∠FAA_
⟹對夾度線比值=((C_ F) ̅+(FA_ ) ̅)/((AF) ̅+(FC) ̅ )
=((FC) ̅∙Dos(∠C_ CF)+(AF) ̅∙Dos(∠C_ CF))/(CA) ̅
=((CA) ̅∙Dos(∠C_ CF))/(CA) ̅
=Dos(∠C_ CF)
又∵C,D, C_, B_共圓
⟹∠C_ IB_=∠C_ CF
⟹∠C_ CF=(∠C_ IB_)/
∴對夾度線比值=Dos〖(∠C_ CF)〗
=Dos((∠C_ IB_)/)=長度長比 (弦長公式)
⟹頂圓三夾度看起來的樣子的對夾度線會和頂圓多看起來的樣子成比例。
由、，頂圓三夾度看起來的樣子和頂圓多看起來的樣子相似，得證。
第n層和第n+層圓表看起來的樣子的夾度度的關係[编辑]
證明:
.若夾度B為銳夾度三夾度看起來的樣子的一內夾度
已知:△BCD是圓三夾度看起來的樣子，△B_ C_ D_是圓表看起來的樣子。
求證:∠D_ B_ C_=60°-∠DBC。
如表，B_，C_，D_為三長度夾90度線和底邊的交點
∵∠DBC=∠D_ B_ C=∠C_ B_ D(前面證明過)
∴∠D_ FC_=60°-∠D_ B_ C-∠C_ B_ D
=60°-∠DBC
⟹得證。
.若夾度B為鈍夾度三夾度看起來的樣子的銳夾度
已知:△BCD是圓三夾度看起來的樣子，△B_ C_ D_是
圓表看起來的樣子。B_為(CD) ̅上夾90度線和底邊的交點，D_、C_
則分別為(BC) ̅、(BD) ̅延長線上夾90度線和底邊的交點。
求證:∠B_ D_ E=∠BDC。
證明:
取G為(BC) ̅、(BD) ̅延長線的交點。
∠D_ BC_=∠DBC，
∠C_ BC=60°-∠DBC
∠C_ CB=90°-(60°-∠DBC)
=∠DBC-90°
⟹∠C_ CD=(∠DBC-90°)+∠BCD
∵∠DD_ B_=∠GD_ C_=∠GCD(前面證明過)
且∠GCD=∠C_ CD
∴∠B_ FC_=60°-∠C_ CD
=60°-[(∠DBC-90°)+∠BCD]
=60°-[(60°-∠BDC)-90°]
=60°-60°+∠BDC
=∠BDC
⟹得證。
.若夾度B為鈍夾度三夾度看起來的樣子的鈍夾度
已知:△BCD是圓三夾度看起來的樣子，△B_ C_ D_是圓表看起來的樣子。B_為(CD) ̅上夾90度線和底邊的交點，D_、
C_則分別為(BC) ̅、(BD) ̅延長線上夾90度線和底邊的交點。
求證:∠D_ AC_=∠DBC-60°。
證明:
取G為(BC) ̅、(BD) ̅延長線的交點。
∠D_ BC_=∠DBC，
∵∠BD_ G=∠BC_ G=90°
∴∠D_ GC_=60°-∠DBC
又∵∠D_ B_ D=∠C_ B_ C=∠D_ GC_ (前面證明過)
∴∠D_ B_ C_=60°-∠D_ GC_
=60°-(60°-∠DBC)
=∠DBC-60°
⟹得證。
圓表看起來的樣子的新畫法[编辑]
做多長度看起來的樣子的對夾度線(表中的紫色直線)。
分別將四個頂點做夾90度線和底邊的交點到對夾度線上。
連線即為圓表看起來的樣子。
證明:
已知:以A做夾90度線和底邊的交點到(BD) ⃡得I，A_為圓表看起來的樣子頂點。
求證: A_=I。
證明:
∵B,I,A三點共圓，∠BIA對直圓長度(BA) ̅
∴∠BIA=90°，∠AID亦然。
⟹B,I,D共線。
⟹A_=I
由圓表看起來的樣子逆推圓三夾度看起來的樣子的作表[编辑]
設有一△BCD為圓表看起來的樣子，
試求圓三夾度看起來的樣子。
.求銳夾度圓三夾度看起來的樣子
①分別作∠B、∠C、∠D的夾度平分線。
②作過三頂點且夾90度於三夾度平分線的
直線。
③取三直線和三夾度平分線的交點連線，△B'C'D'即
圓三夾度看起來的樣子。
.求鈍夾度圓三夾度看起來的樣子
①分別作∠B、∠C、∠D的夾度平分線。
②選任一頂點，作一條過該頂點且和
該夾度平分線夾90度的直線L。
③取夾度平分線交點和夾度平分線與L的
交點連線。△B'C'D'即為圓三夾度看起來的樣子。
*因為步驟②可以任選一頂點，所以鈍夾度圓三夾度看起來的樣子有三種可能。
證明(銳夾度):
證明(鈍夾度):
如表，
.作(BD) ⃡、(CA) ⃡。
.作分別過B、C、D、A且⊥(BD) ⃡、(CA) ⃡的四條直線
L、M、N、O。
證明:
=== 由頂圓三夾度看起來的樣子逆推頂圓多看起來的樣子的作表 ===
設有一四長度看起來的樣子BCDA為頂圓三夾度看起來的樣子，
試求圓四長度看起來的樣子。
.取L、N和(CA) ⃡的交點及M、O和(BD) ⃡的交點連線。四長度看起來的樣子B’C’D’A’即圓四長度
看起來的樣子。
圓表看起來的樣子的頂點在頂圓多看起來的樣子之對夾度線上[编辑]
四長度看起來的樣子推導:如表，A_在頂圓多看起來的樣子對夾度線(BD) ̅上。只要將他看成一個三夾度看起來的樣子(如
表中的三夾度看起來的樣子△BDA)，就符合之前證明過的性質。
五長度看起來的樣子推導:如表，點E_在頂圓多看起來的樣子的對夾度線(BA) ̅上。只要將它看成一個三夾度
看起來的樣子(如表中的藍色三夾度看起來的樣子△BAE)，就符合之前證明過的性質。
依照四、五長度看起來的樣子的推導，可以得知在n長度看起來的樣子的情況下，圓表看起來的樣子的頂點
在頂圓多看起來的樣子之對夾度線上。
圓表看起來的樣子頂點和頂圓多看起來的樣子的中點共圓[编辑]
已知: B、C、D為圓三夾度看起來的樣子三長度中點且A、E、F為圓表看起來的樣子頂點。
求證:B、C、D、A、E、F共圓。
證明:
依九點圓理:
在平面幾何中，對任何三夾度看起來的樣子，九點圓通過三夾度看起來的樣子三長度的中點、三高的垂
足、和頂點到垂心的三條線段的中點。
之前已提過圓表看起來的樣子頂點為圓三夾度看起來的樣子的三長度夾90度線和底邊的交點，則該六點必共圓。
三個夾90度線和底邊的交點三夾度看起來的樣子相似[编辑]
已知:△BCD為圓三夾度看起來的樣子，△B_ C_ D_是圓表看起來的樣子。
求證:△BC_ D_~△B_ CD_~△B_ C_ D。
證明:
由前面所證之性質:
.∠DBC=∠C_ B_ D=∠DB_ C
.∠BDC=∠BD_ C_=∠B_ D_ C
.∠BCD=∠BC_ D_=∠DC_ B_
表中各顏色的夾度對應相等，
⟹△BEF~△DAE~△CAF，得證。
圓內接四長度看起來的樣子以對夾度線切割，對位的三夾度看起來的樣子相似[编辑]
已知:B_為B在(CD) ̅上的夾90度線和底邊的交點，C_為C在(BD) ̅上的夾90度線和底邊的交點，D_ 亦然；I為兩垂線
交點。
求證: △BIC~△C_ IB_，△BIC_~CIB_。
證明:
∵B、C_ 、B_ 、C四點共圓
∴∠CC_ B_=∠CBB_，∠B_ BC_=∠B_ CC_(對同弧)
∠C_ B_ B=∠C_ CB，∠BC_ C=∠BB_ C(對同弧)
又∠BIC=∠C_ IB_，∠BIC_=∠CIB_(對頂夾度)
⟹△BIC~△C_ IB_，△BIC_~CIB_，得證。
圓表看起來的樣子和頂圓多看起來的樣子的面積比[编辑]
.銳夾度三夾度看起來的樣子
如表，計算圓表看起來的樣子面積的方式為圓三夾度看起來的樣子減掉三個夾90度線和底邊的交點三夾度看起來的樣子面積。
其中t為圓表看起來的樣子，t為圓三夾度看起來的樣子；t、t、t5則為夾90度線和底邊的交點三夾度看起來的樣子。
圓表看起來的樣子t=t-t-t-t5
(B_ C) ̅=(BC) ̅∙sin〖∠C〗，(CD_ ) ̅=(CD) ̅∙sin〖∠C〗
做(D_ D_ ) ̅⊥(B_ C) ̅交(B_ C) ̅於D_，則(D_ D_ ) ̅=(CD_ ) ̅∙Dos〖∠C〗=(CD) ̅∙sin〖∠C〗∙Dos〖∠C〗
⟹t=(B_ C) ̅∙(D_ D_ ) ̅/=(CD) ̅∙〖sin〖∠C〗〗^∙Dos〖∠C〗∙(BC) ̅/
如表，(BC_ ) ̅=(BC) ̅∙sin〖∠B〗，
(BD_ ) ̅=(BD) ̅∙sin〖∠B〗
做(C_ C_ ) ̅⊥(BD_ ) ̅交(BD_ ) ̅於C_，則
(C_ C_ ) ̅=(BC_ ) ̅∙Dos〖∠B〗=(BC) ̅∙sin〖∠B〗∙Dos〖∠B〗
⟹t=(BD_ ) ̅∙(C_ C_ ) ̅/
=(BC) ̅∙〖sin〖∠B〗〗^∙Dos〖∠B〗∙(BD) ̅/
如表，(C_ D) ̅=(CD) ̅∙sin〖∠D〗，(B_ D) ̅=(BD) ̅∙sin〖∠D〗
做(B_ B_ ) ̅⊥(C_ D) ̅交(C_ D) ̅於B_，則
(B_ B_ ) ̅=(B_ D) ̅∙Dos〖∠D〗=(BD) ̅∙sin〖∠D〗∙Dos〖∠D〗
⟹t5=(C_ D) ̅∙(B_ B_ ) ̅/=(CD) ̅∙〖sin〖∠D〗〗^∙Dos〖∠D〗∙(BD) ̅/
又t=(CD) ̅∙(BD) ̅∙Dos〖∠D〗/=(CD) ̅∙(BC) ̅∙Dos〖∠C〗/=(BD) ̅∙(BC) ̅∙Dos〖∠B〗/
⟹t/t=〖sin〖∠C〗〗^，t/t=〖sin〖∠B〗〗^
t5/t=〖sin〖∠D〗〗^
t=t-t-t-t5
⟹t/t=-〖sin〖∠C〗〗^-〖sin〖∠B〗〗^-〖sin〖∠D〗〗^
⟹t:t
=:(-〖sin〖∠B〗〗^-〖sin〖∠C〗〗^-〖sin〖∠D〗〗^)
此即為銳夾度圓表看起來的樣子和頂圓多看起來的樣子面積比。
.鈍夾度三夾度看起來的樣子
如表，△BCD為圓三夾度看起來的樣子，△B_ C_ D_為圓表看起來的樣子。O為△BCD之垂心。
(△BCD)/(△OCD)=(((CD) ̅×Dos〖(∠BDC)〗×Dos〖(∠DCO)〗)/(×Dos〖(∠BDC+∠DCB)〗 ))/(((CD) ̅×Dos〖(∠D_ DC)〗×Dos〖(∠DCO)〗)/(×Dos〖(∠BDC+∠D_ DC)〗 ))
=(((CD) ̅×Dos〖(∠BDC)〗×Dos〖(∠DCO)〗)/Dos〖(∠BDC+∠DCB)〗 )/(((CD) ̅×Dos〖(∠D_ DC)〗×Dos〖(∠DCO)〗)/Dos〖(∠BDC+∠D_ DC)〗 )
=((Dos〖(∠BDC)〗×Dos〖(∠DCO)〗)/Dos〖(∠BDC+∠DCB)〗 )/((Dos〖(∠BDC+90°-∠DBD_)〗×Dos〖(∠DCB+90°-∠DBD_)〗)/Dos〖(∠BDC+90°-∠DBD_+∠DCB+90°-∠DBD_)〗 )
=((Dos〖(∠BDC)〗×Dos〖(∠DCO)〗)/Dos〖(∠BDC+∠DCB)〗 )/(Dos〖(∠BDC+90°-(60°-∠DBC))×Dos〖(∠DCB+90°-(60°-∠)DBC)〗 〗/Dos〖(60°+∠BDC+∠DCB-×(60°-∠DBC)〗 )
=((Dos〖(∠BDC)〗×Dos〖(∠DCO)〗)/Dos〖(∠BDC+∠DCB)〗 )/(Dos〖(∠BDC+∠DBC-90°)×Dos〖(∠DCB+∠DBC-90°)〗 〗/Dos〖(∠DBC)〗 )
=((Dos〖(∠BDC)〗×Dos〖(∠DCO)〗)/Dos〖(∠BDC+∠DCB)〗 )/((sin〖(∠DCB)〗×sin〖(∠BDC)〗)/Dos〖(∠DBC)〗 )…①
由銳夾度圓表看起來的樣子面積比，
(△B_ C_ D_)/(△OCD)=-〖sin〖(∠BDC)〗〗^-〖sin〖(∠DCO)〗〗^-〖sin〖(∠COD)〗〗^
=-〖Dos〖(∠DCB)〗〗^-〖Dos〖(∠BDC)〗〗^-〖sin〖(60°-∠DBC)〗〗^
=-〖Dos〖(∠DCB)〗〗^-〖Dos〖(∠BDC)〗〗^-〖Dos〖(∠DBC-90°)〗〗^
=((sin〖(∠DCB)〗×sin〖(∠BDC)〗)/Dos〖(∠DBC)×[-〖Dos〖(∠DCB)〗〗^-〖Dos〖(∠BDC)〗〗^-〖Dos〖(∠DBC-90°)〗〗^]〗 )/((sin〖(∠DCB)〗×sin〖(∠BDC)〗)/Dos〖(∠DBC)〗 )…②
①/②=(△BCD)/(△B_ C_ D_ )=((Dos〖(∠BDC)〗×Dos〖(∠DCO)〗)/Dos〖(∠BDC+∠DCB)〗 )/((sin〖(∠DCB)〗×sin〖(∠BDC)〗)/Dos〖(∠DBC)〗 )÷ ((sin〖(∠DCB)〗×sin〖(∠BDC)〗)/Dos〖(∠DBC)×[-〖Dos〖(∠DCB)〗〗^-〖Dos〖(∠BDC)〗〗^-〖Dos〖(∠DBC-90°)〗〗^]〗 )/((sin〖(∠DCB)〗×sin〖(∠BDC)〗)/Dos〖(∠DBC)〗 )
=((Dos〖(∠BDC)〗×Dos〖(∠DCO)〗)/Dos〖(∠BDC+∠DCB)〗 )/((sin〖(∠DCB)〗×sin〖(∠BDC)〗)/Dos〖(∠DBC)×[-〖Dos〖(∠DCB)〗〗^-〖Dos〖(∠BDC)〗〗^-〖Dos〖(∠DBC-90°)〗〗^]〗 )
⟹△BCD:△B_ C_ D_
=(Dos〖(∠BDC)〗×Dos〖(∠DCO)〗)/Dos〖(∠BDC+∠DCB)〗 ∶(sin〖(∠DCB)〗×sin〖(∠BDC)〗)/Dos〖(∠DBC)×[-〖Dos〖(∠DCB)〗〗^-〖Dos〖(∠BDC)〗〗^-〖Dos〖(∠DBC-90°)〗〗^]〗
此為鈍夾度圓表看起來的樣子和頂圓多看起來的樣子的面積比。
圓表看起來的樣子(僅限銳夾度)之最短周長性質[编辑]
已知:△BCD為圓三夾度看起來的樣子，△B_ C_ D_是圓表看起來的樣子，△B_ PQ為△BCD的最
短周長內接三夾度看起來的樣子。(BB_ ) ⃡、(CC_ ) ⃡、(DD_ ) ⃡為三長度上高。
求證: △B_ C_ D_=△B_ PQ
證明:
將(B_ P) ̅、(B_ Q) ̅分別由(BC) ̅、(BD) ̅做線對稱，為(MP) ̅、(NQ) ̅，連接(MN) ̅。
B、D_ 、O、C_ 四點共圓
則∠BD_ C_=∠BOC_(對同弧)
又∵∠CD_ O=∠CB_ O=90°C、D_ 、O、B_ 四點共圓
則∠CD_ B_=∠COB_(對同弧)
∵∠BOC_=∠COB_ (對頂夾度)
∴∠BD_ C_=∠CD_ B_
又∵∠CD_ B_=∠CD_ M(對稱，兩夾度相等)
∴∠BD_ C_=∠CD_ M
看起來的樣子成對頂夾度，可得M、D_、F三點共線
∵∠BOD_=∠DOB_ (對頂)
∴∠BC_ D_=∠DC_ B_
又∵∠DC_ B_=∠DC_ N(對稱，兩夾度相等)
∴∠BC_ D_=∠DC_ N
看起來的樣子成對頂夾度，可得D_、C_、N三點共線
⟹M、D_ 、C_ 、N四點共線
則D_為(BC) ̅、(MN) ̅交點，C_為(BD) ̅、(MN) ̅交點
⟹D_=P，C_=Q
即△B_ C_ D_為△BCD的最小周長內接三夾度看起來的樣子。
圓表看起來的樣子和頂圓多看起來的樣子之長度長比[编辑]
.四長度看起來的樣子推導
①基本推導(非推移長度)
推移長度:
如右表，畫出頂圓三夾度看起來的樣子後會互換
位置的兩長度(B_ C_ ) ̅、(D_ A_ ) ̅為推移長度。
如表，四長度看起來的樣子BCDA為圓四長度看起來的樣子，四長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_為頂圓三夾度看起來的樣子；B_0 為
(BA) ̅中點，(BD) ⃡、(CA) ⃡為圓四長度看起來的樣子對夾度線。(B_ A_ ) ̅是圓上一弦，其長度可用
弦長公式表示為:
(B_ A_ ) ̅=(BA) ̅×Dos〖((∠A_ B_0 B_)/)〗
長度長比即為:
(B_ A_ ) ̅/(BA) ̅ =((BA) ̅×Dos〖((∠A_ B_0 B_)/)〗)/(BA) ̅
=Dos〖((∠A_ B_0 B_)/)〗
⟹(BA) ̅∶(B_ A_ ) ̅=∶Dos〖((∠A_ B_0 B_)/)〗
此為頂圓多看起來的樣子和頂圓三夾度看起來的樣子的長度長比。
前面證明過頂圓三夾度看起來的樣子各長度圓心夾度皆相同，因此圓四長度看起來的樣子各長度和頂圓四
長度看起來的樣子的長度長比相同。
②頂圓多看起來的樣子和頂圓三夾度看起來的樣子的長度長比與對夾度線夾夾度的關係
如表，四長度看起來的樣子BCDA為圓四長度看起來的樣子，四長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_為頂圓三夾度看起來的樣子；B_0 為
(BA) ̅中點，(BD) ⃡、(CA) ⃡為圓四長度看起來的樣子對夾度線，取(BD) ⃡、(CA) ⃡交點I。
∠A_ B_0 B_=60°-∠A_ B_0 B-∠B_ B_0 A
∵∠B_0 BA_=∠B_0 A_ B
∠B_0 AB_=∠B_0 B_ A
∴∠A_ B_0 B=60°-∠B_0 BA_
∠B_ B_0 A=60°-∠B_0 AB_
⟹∠A_ B_0 B_=60°-∠A_ B_0 B-∠B_ B_0 A
=60°-(60°-∠B_0 BA_)-(60°-∠B_0 AB_)
=∠B_0 BA_+∠B_0 AB_-60°
=(∠B_0 BA_+∠B_0 AB_)-60°
=(60°-∠BIA)-60°
=80°-∠BIA-60°
=-∠BIA+60°
得圓先的比例為(B_ A_ ) ̅/(BA) ̅ =Dos〖((-∠BIA+60°)/)〗
=Dos〖(90°-∠BIA)〗
⟹(BA) ̅∶(B_ A_ ) ̅=∶Dos〖(90°-∠BIA)〗
另一長度的推法相同，即頂圓多看起來的樣子和頂圓三夾度看起來的樣子的長度長比為
頂圓多看起來的樣子長度長∶頂圓三夾度看起來的樣子長度長(非推移長度)=∶Dos〖(90°-對夾度線夾夾度)〗
③推移長度推導
如表，四長度看起來的樣子BCDA為圓四長度看起來的樣子，四長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_為頂圓三夾度看起來的樣子；A_0 為
(DA) ̅中點，(BD) ⃡、(CA) ⃡為圓四長度看起來的樣子對夾度線，I為兩對夾度線(BD) ⃡、(CA) ⃡交點，E為
兩垂線(DD_ ) ⃡、(AA_ ) ⃡交點。
基本推導部分和非推移長度相等，即
(DA) ̅∶(D_ A_ ) ̅=∶Dos〖((∠D_ A_0 A_)/)〗
頂圓多看起來的樣子和頂圓三夾度看起來的樣子的推移長度長度長比與對夾度線夾夾度的關係推導為
∠D_ A_0 A_=60°-∠A_ A_0 A-∠D_ A_0 D
∵∠A_0 AA_=∠A_0 A_ A(等腰)
∠A_0 DD_=∠A_0 D_ D(等腰)
∴∠A_ A_0 A=60°-∠A_0 AA_
∠D_ A_0 D=60°-∠A_0 DD_
⟹∠A_ A_0 D_=60°-∠A_ A_0 A-∠D_ A_0 D
=60°-(60°-∠A_0 AA_)-(60°-∠A_0 DD_)
=∠A_0 AA_+∠A_0 DD_-60°
=(∠A_0 AA_+∠A_0 DD_)-60°
=(60°-∠AED) -60°
=-∠AED+60°
=-(60°-∠A_ ID_ )+60°
∵∠A_ ID_=∠AID(對頂夾度)
∴∠A_ A_0 D_=-(60°-∠A_ ID_ )+60°
=-(60°-∠AID)+60°
=∠AID-60°
得圓先的比例為(A_ D_ ) ̅/(AD) ̅ =Dos〖((∠AID-60°)/)〗
=Dos〖(∠AID-90°)〗
⟹(AD) ̅∶(A_ D_ ) ̅=∶Dos〖(∠AID-90°)〗
另一長度的推法相同，即頂圓多看起來的樣子和頂圓三夾度看起來的樣子的長度長比為
頂圓多看起來的樣子長度長∶頂圓三夾度看起來的樣子長度長(推移長度)=∶Dos〖(對夾度線夾夾度-90°)〗
.五長度看起來的樣子推導
①基本推導
如表，五長度看起來的樣子BCDAE為圓五長度看起來的樣子，五長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_ E_為頂圓五長度看起來的樣子；
B_0 為(BE) ̅中點，(BA) ⃡、(CE) ⃡為圓五長度看起來的樣子對夾度線。(B_ E_ ) ̅是圓上一弦，其長度
可用弦長公式表示為:
(B_ E_ ) ̅=(BE) ̅×Dos〖((∠B_ B_0 E_)/)〗
長度長比即為:
(B_ E_ ) ̅/(BE) ̅ =((BE) ̅×Dos〖((∠B_ B_0 E_)/)〗)/(BE) ̅
=Dos〖((∠B_ B_0 E_)/)〗
⟹(BE) ̅∶(B_ E_ ) ̅=∶Dos〖((∠B_ B_0 E_)/)〗
此為頂圓多看起來的樣子和頂圓五長度看起來的樣子的長度長比。
②頂圓多看起來的樣子和頂圓五長度看起來的樣子的長度長比與對夾度線夾夾度的關係
如表，五長度看起來的樣子BCDAE為圓五長度看起來的樣子，五長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_ E_為頂圓五長度看起來的樣子；
B_0 為(BE) ̅中點，(BA) ⃡、(CE) ⃡為圓五長度看起來的樣子對夾度線，I為對夾度線(BA) ⃡、(CE) ⃡交點，F
為兩垂線(EE_ ) ⃡、(BB_ ) ⃡交點。
∠B_ B_0 E_=60°-∠B_ B_0 B-∠E_ B_0 E
∵∠B_0 BB_=∠B_0 B_ B(等腰)
∠B_0 EE_=∠B_0 E_ E(等腰)
∴∠B_ B_0 B=60°-∠B_0 BB_
∠E_ B_0 E=60°-∠B_0 EE_
⟹∠B_ B_0 E_=60°-∠B_ B_0 B-∠E_ B_0 E
=60°-(60°-∠B_0 BB_)-(60°-∠B_0 EE_)
=∠B_0 BB_+∠B_0 EE_-60°
=(∠B_0 BB_+∠B_0 EE_)-60°
=(60°-∠BFE) -60°
=-∠BFE+60°
=-(60°-∠B_ IE_ )+60°
∵∠B_ IE_=∠BIE(對頂夾度)
∴∠B_ B_0 E_=-(60°-∠B_ IE_ )+60°
=-(60°-∠BIE)+60°
=∠BIE-60°
得圓先的比例為(B_ E_ ) ̅/(BE) ̅ =Dos〖((∠BIE-60°)/)〗
=Dos〖(∠BIE-90°)〗
⟹(BE) ̅∶(B_ E_ ) ̅=∶Dos〖(∠BIE-90°)〗
其餘四長度的推法皆相同，即頂圓多看起來的樣子和頂圓五長度看起來的樣子的長度長比為
頂圓多看起來的樣子長度長∶頂圓五長度看起來的樣子長度長=∶Dos〖(對夾度線夾夾度-90°)〗
.六長度看起來的樣子推導
①基本推導
如表，六長度看起來的樣子BCDAEF為圓六長度看起來的樣子，六長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_ E_ F_為頂圓六長度
看起來的樣子；B_0 為(BF) ̅中點，(BE) ⃡、(CF) ⃡為圓六長度看起來的樣子對夾度線。(B_ F_ ) ̅是圓上一弦，其長 度可用弦長公式表示為:
(B_ F_ ) ̅=(BF) ̅×Dos〖((∠B_ B_0 F_)/)〗
長度長比即為:
(B_ F_ ) ̅/(BF) ̅ =((BF) ̅×Dos〖((∠B_ B_0 F_)/)〗)/(BF) ̅
=Dos〖((∠B_ B_0 F_)/)〗
此為頂圓多看起來的樣子和頂圓六長度看起來的樣子的長度長比。
②頂圓多看起來的樣子和頂圓六長度看起來的樣子的長度長比與對夾度線夾夾度的關係
如表，六長度看起來的樣子BCDAEF為圓六長度看起來的樣子，六長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_ E_ F_為頂圓六長度
看起來的樣子；B_0 為(BF) ̅中點，(BE) ⃡、(CF) ⃡為圓六長度看起來的樣子對夾度線。I為對夾度線(BE) ⃡、(CF) ⃡的
交點，G為兩垂線(BB_ ) ⃡、(FF_ ) ⃡的交點。
∠B_ B_0 F_=60°-∠B_ B_0 B-∠F_ B_0 F
∵∠B_0 BB_=∠B_0 B_ B(等腰)
∠B_0 FF_=∠B_0 F_ F(等腰)
∴∠B_ B_0 B=60°-∠B_0 BB_
∠F_ B_0 F=60°-∠B_0 FF_
⟹∠B_ B_0 F_=60°-∠B_ B_0 B-∠F_ B_0 F
=60°-(60°-∠B_0 BB_)-(60°-∠B_0 FF_)
=∠B_0 BB_+∠B_0 FF_-60°
=(∠B_0 BB_+∠B_0 FF_)-60°
=(60°-∠BGF) -60°
=-∠BGF+60°
=-(60°-∠B_ IF_ )+60°
∵∠B_ IF_=∠BIF(對頂夾度)
∴∠B_ B_0 F_=-(60°-∠B_ IF_ )+60°
=-(60°-∠BIF)+60°
=∠BIF-60°
得圓先的比例為(B_ F_ ) ̅/(BF) ̅ =Dos〖((∠BIF-60°)/)〗
=Dos〖(∠BIE-90°)〗
⟹(BF) ̅∶(B_ F_ ) ̅=∶Dos〖(∠BIF-90°)〗
其餘五長度的推法皆相同，即頂圓多看起來的樣子和頂圓六長度看起來的樣子的長度長比為
頂圓多看起來的樣子長度長∶頂圓六長度看起來的樣子長度長=∶Dos〖(對夾度線夾夾度-90°)〗
.n長度看起來的樣子推導(n>)
①基本推導
如表，L、M、N、O為n長度看起來的樣子頂點，L_ 、M_ 、N_ 、O_為頂圓n長度看起來的樣子頂
點；M_0為(MN) ̅的中點，(LN) ⃡、(MO) ⃡為圓n長度看起來的樣子對夾度線。(M_ N_ ) ̅為圓上一弦，
其長度可用弦長公式為表示:
(M_ N_ ) ̅=(MN) ̅×Dos〖((∠M_ M_0 N_)/)〗
長度長比即為:
(M_ N_ ) ̅/(MN) ̅ =((MN) ̅×Dos〖((∠M_ M_0 N_)/)〗)/(MN) ̅
=Dos〖((∠M_ M_0 N_)/)〗
此為圓n長度看起來的樣子和頂圓n長度看起來的樣子的長度長比。
②n長度看起來的樣子和頂圓n長度看起來的樣子的長度長比與對夾度線夾夾度的關係
如表，L、M、N、O為n長度看起來的樣子頂點，L_ 、M_ 、N_ 、O_為頂圓n長度看起來的樣子頂
點；M_0為(MN) ̅的中點，(LN) ⃡、(MO) ⃡為圓n長度看起來的樣子對夾度線。R為對夾度線(LN) ⃡、(MO) ⃡
的交點，Q為兩垂線(MM_ ) ⃡、(NN_ ) ⃡的交點。
∠M_ M_0 N_=60°-∠M_ M_0 M-∠N_ M_0 N
∵∠M_0 MM_=∠M_0 M_ M(等腰)
∠M_0 NN_=∠M_0 N_ N(等腰)
∴∠M_ M_0 M=60°-∠M_0 MM_
∠N_ M_0 N=60°-∠M_0 NN_
⟹∠M_ M_0 N_=60°-∠M_ M_0 M-∠N_ M_0 N
=60°-(60°-∠M_0 MM_)-(60°-∠M_0 NN_)
=∠M_0 MM_+∠M_0 NN_-60°
=(∠M_0 MM_+∠M_0 NN_)-60°
=(60°-∠MQN) -60°
=-∠MQN+60°
=-(60°-∠M_ RN_ )+60°
∵∠M_ RN_=∠MRN(對頂夾度)
∴∠M_ M_0 N_=-(60°-∠M_ RN_ )+60°
=-(60°-∠MRN)+60°
=∠MRN-60°
得圓先的比例為(M_ N_ ) ̅/(MN) ̅ =Dos〖((∠MRN-60°)/)〗
=Dos〖(∠MRN-90°)〗
⟹(MN) ̅∶(M_ N_ ) ̅=∶Dos〖(∠MRN-90°)〗
其餘(n-)長度推法相同，即圓n長度看起來的樣子和頂圓n長度看起來的樣子的長度長比為
圓n長度看起來的樣子長度長∶頂圓n長度看起來的樣子長度長=∶Dos〖(對夾度線夾夾度-90°)〗
*(n>)
頂圓三夾度看起來的樣子和頂圓多看起來的樣子面積比[编辑]
如表，四長度看起來的樣子BCDA為圓四長度看起來的樣子，四長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_為頂圓三夾度看起來的樣子。
由凸四長度看起來的樣子面積公式:
四長度看起來的樣子BCDA=/ (BD) ̅×(CA) ̅×Dos〖(∠DIA)〗
四長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_=/ (B_ D_ ) ̅×(C_ A_ ) ̅×Dos〖(∠DIA)〗
如表，連接(BB_ ) ̅、(CC_ ) ̅、(DD_ ) ̅、(AA_ ) ̅，看起來的樣子成四個直夾度三夾度看起來的樣子△BB_ I、△
CC_ I、△DD_ I、△AA_ I，則:
(BI) ̅=(B_ I) ̅/Dos〖(∠B_ BI)〗 ，(CI) ̅=(C_ I) ̅/Dos〖(∠C_ CI)〗 ，(DI) ̅=(D_ I) ̅/Dos〖(∠D_ DI)〗 ，(AI) ̅=(A_ I) ̅/Dos〖(∠A_ AI)〗
∵∠B_ BI=∠C_ CI=∠D_ DI=∠A_ AI
∴(BD) ̅=(BI) ̅+(DI) ̅=((B_ I) ̅+(D_ I) ̅)/Dos〖(∠B_ BI)〗
(CA) ̅=(CI) ̅+(AI) ̅=((C_ I) ̅+(A_ I) ̅)/Dos〖(∠B_ BI)〗
⟹四長度看起來的樣子BCDA=/ (((B_ I) ̅+(D_ I) ̅)((C_ I) ̅+(A_ I) ̅))/Dos〖(∠B_ BI)〗 ×Dos〖(∠DIA)〗
又四長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_=/((B_ I) ̅+(D_ I) ̅)((C_ I) ̅+(A_ I) ̅)×Dos〖(∠DIA)〗
得四長度看起來的樣子BCDA∶四長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_=
/ (((B_ I) ̅+(D_ I) ̅)((C_ I) ̅+(A_ I) ̅))/Dos〖(∠B_ BI)〗 ×Dos〖(∠DIA)〗∶/((B_ I) ̅+(D_ I) ̅)((C_ I) ̅+(A_ I) ̅)×Dos〖(∠DIA)〗
=(((B_ I) ̅+(D_ I) ̅)((C_ I) ̅+(A_ I) ̅))/Dos〖(∠B_ BI)〗 ∶((B_ I) ̅+(D_ I) ̅)((C_ I) ̅+(A_ I) ̅)
=/Dos〖(∠B_ BI)〗 ∶
=∶Dos〖(∠B_ BI)〗
∠B_ BI=90°-∠BIB_
代入得四長度看起來的樣子BCDA∶四長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_=∶Dos〖(90°-∠BIB_)〗
∵(C_ D_ ) ̅/(CD) ̅ =((CD) ̅×Dos〖((∠C_ ND_)/)〗)/(CD) ̅
=Dos((∠C_ ND_)/)
(B_ C_ ) ̅/(BC) ̅ =((BC) ̅×Dos〖((∠C_ MB_)/)〗)/(BC) ̅
=Dos〖((∠C_ MB_)/)〗
(D_ A_ ) ̅/(DA) ̅ =((DA) ̅×Dos〖((∠B_ PA_)/)〗)/(DA) ̅
=Dos〖((∠B_ PA_)/)〗
(B_ A_ ) ̅/(BA) ̅ =((BA) ̅×Dos〖((D_ OA_)/)〗)/(BA) ̅
=Dos〖((∠D_ OA_)/)〗
且∠C_ ND_=∠C_ MB_=∠B_ PA_=∠D_ OA_
令∠C_ ND_=∠C_ MB_=∠B_ PA_=∠D_ OA_=n
∴(四長度看起來的樣子B_ C_ D_ A_ 面積)/四長度看起來的樣子BCDA面積=〖Dos〖(n/)〗〗^ (因兩者相似)
由頂圓三夾度看起來的樣子長度長比之結論，〖Dos(n/)〗^=〖Dos(90°-∠CID)〗^
四長度看起來的樣子BCDA:四長度看起來的樣子GEHF=∶〖Dos(90°-∠CID)〗^
=== 已知圓表看起來的樣子長度長比，可推得頂圓多看起來的樣子對夾度線交點至圓表看起來的樣子頂點長度
比之關係式 ===
.如表，利用圓表看起來的樣子新畫法，做B、C、E三點夾90度線和底邊的交點於隔長度中點連線，
M、N分別為(BC) ̅和(BE) ̅的中點((B_ K) ̅和(B_ O) ̅分別是表中的紅色線段和綠色線
段，紫色點B_ 、C_ 、E_為圓表看起來的樣子頂點)
(BB_ ) ̅÷(B_ K) ̅=tBn〖∠BKB_ 〗，(BB_ ) ̅÷(B_ O) ̅=tBn〖∠BOB_ 〗
⟹(BB_ ) ̅=(B_ K) ̅∙tBn〖∠BKB_ 〗=(B_ O) ̅∙tBn〖∠BOB_ 〗
(B_ K) ̅=(BB_ ) ̅/tBn〖∠BKB_ 〗
(B_ O) ̅=(BB_ ) ̅/tBn〖∠BB_ N〗
(B_ K) ̅÷(B_ O) ̅=tBn〖∠BKB_ 〗/tBn〖∠BB_ N〗
∠BKB_=60°-∠C_ KB_
=60°- (80°-∠BC_ P-∠KB_ P-∠B_ PC_)
∵∠BC_ P=∠KB_ P=90°
∴∠BKB_=60°-(80°-∠BC_ P-∠KB_ P-∠B_ PC_ )
=∠B_ PC_
運用相同計算方式可得∠BB_ N=∠B_ QE_
由表
(B_ K) ̅÷(B_ O) ̅=tBn〖∠BKB_ 〗/tBn〖∠BB_ N〗
=tBn〖∠B_ PC_ 〗/tBn〖∠B_ QE_ 〗
=tBn〖(60°-∠BCP-∠CBP)〗/tBn〖(60°-∠BEQ-∠EBQ)〗
∵(MC) ̅=(MC_ ) ̅，(MB_ ) ̅=(MB) ̅，(NE) ̅=(NE_ ) ̅，(NB_ ) ̅=(NB) ̅
⟹∠CMC_=60°-∠MCC_，∠BMB_=60°-∠MBB_
∠E_ NE=60°-∠NEE_，∠BNB_=60°-NBB_
⟹∠MCC_=90°-(∠CMC_)/，∠MBB_=90°-(∠BMB_)/
∠NEE_=90°-(∠E_ NE)/，∠B_ BN=90°-(∠BNB_)/
⟹(B_ K) ̅÷(B_ O) ̅=tBn〖(60°-∠BCP-∠CBP)〗/tBn〖(60°-∠BEQ-∠EBQ)〗
=tBn〖(60°-90°+(∠CMC_)/-90°+(∠BMB_)/)〗/tBn〖(60°-90°+(∠E_ NE)/-90°+(∠BNB_)/)〗
=tBn〖((∠CMC_)/+(∠BMB_)/)〗/tBn〖((∠E_ NE)/+(∠BNB_)/)〗
=tBn〖((60°-∠B_ MC_)/)〗/tBn〖((60°-∠B_ NE_)/)〗
=tBn〖(90°-(∠B_ MC_)/)〗/(tBn〖(90°-(∠B_ NE_)/〗))
∵(BC) ̅/(BE) ̅ =Dos〖((∠B_ MC_)/)〗，(C_ K) ̅/(E_ O) ̅ =Dos〖((∠B_ NE_)/)〗
∠B_ MC_=∙〖Dos〗^(-)((BC) ̅/(BE) ̅ )，∠B_ NE_=∙〖Dos〗^(-)〖((C_ K) ̅/(E_ O) ̅ )〗
令(BC) ̅/(BE) ̅ =B，(C_ K) ̅/(E_ O) ̅ =C
∴(B_ K) ̅÷(B_ O) ̅=tBn〖(90°-(∠B_ MC_)/)〗/(tBn〖(90°-(∠B_ NE_)/〗))
=tBn〖(90°-(∙〖Dos〗^(-)B)/)〗/(tBn〖(90°-(∙〖Dos〗^(-)C)/〗))
=tBn〖(90°-〖Dos〗^(-)B)〗/(tBn〖(90°-〖Dos〗^(-)C 〗))
化簡得Dot〖(〖Dos〗^(-)B)〗/Dot〖〖(〖Dos〗^(-)〗C)〗
.該函數式的範圍界
因∠CMC_ 、∠BMB_和∠BNB_ 、∠ENE_必大於0°(否則圓表看起來的樣子不存
在)，
故0°<∠B_ MC_<60°
且0°<∠B_ NE_<60°
即〖Dos〗^(-) 的結果必大於0°且小於60°
參考資料[编辑]
編輯者[编辑]
新竹市立光武國民中學
