交换代数/主理想整环与唯一分解整环

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

A

交换环(Commutative ring) - 一种环，其乘法满足交换律，即對所有元素a,b有ab = ba。主理想整环与唯一分解整环一般都假定為含單位元的交换环。
整环(Integral domain) - 一個交换环，其中ab = 0 蕴含a = 0或b = 0，即沒有非零零因子。主理想整环與唯一分解整环都是整环的特殊情形。
理想(Ideal) - 环中的一個加法子群I，滿足RI ⊆ I且IR ⊆ I。在交换代数中，用理想刻画代数子結構與代数幾何中的代数集合。
主理想(Principal ideal) - 由單一元素生成的理想。若a在環R中，主理想寫作(a) = \{ra : r \in R\}。
主理想整环(Principal ideal domain, PID) - 一個整环，其中每個理想都是主理想。典型例子是整數環\mathbb{Z}與一元多項式環k[x]。
伴随多项式(Annulator) - 在模論中，給定模M與元素m∈M，其零化子Ann(m) = \{ r∈R : rm = 0 \}是環R的一個理想，主理想整环上常用來分析結構。

B

基(基底, Basis) - 對向量空間或自由模而言，基是能生成整個空間且線性獨立的一組元素。PID上有限生成模總能分解為循環模直和，此時選擇合適的基是研究結構的關鍵。
分解(Decomposition) - 將一個數或元素寫成若干不可約元素的乘積。UFD中分解存在且在排列與單位元意義下唯一。
貝祖等式(Bézout's identity) - 在整數或多项式環中，對任意元素a,b存在x,y使ax+by = d，其中d為a,b的最大公因數。在PID中，「最大公因數可寫為線性組合」是重要性質。

C

最大公因數(Greatest common divisor, gcd) - 在整环中，能同時整除a,b且在整除關係下最大的元素（只定義到單位元）。在UFD中任意兩個非零元素都有gcd，並可利用其素因子分解定義。
整除(Divisibility) - 若a,b為整环R中元素，存在c∈R使b = ac時稱a整除b，寫作a\mid b。UFD與PID的許多性質均以整除關係表述。
环(Ring) - 配備兩種運算（加與乘）的代數結構，加法構成阿貝爾群，乘法封閉且分配律成立。交換代數研究主要聚焦於交換環。

D

單位元(Unit, Invertible element) - 在環R中，若存在v∈R使uv = vu = 1，則稱u為單位元。唯一分解整环中的「唯一」只在排列與乘上單位元的意義下成立。
整闭(Dedekind-finite / Integrally closed 的一部分語境) - 在討論UFD與更一般的整环時，常考慮整閉性，意即環在其分式域中包含所有對其整的元素；UFD一定是整閉整环。
戴德金整环(Dedekind domain) - 一類在數論與代數幾何中重要的整环，雖不一定是UFD，但其每個非零真理想皆唯一分解為極大理想的乘積。

E

歐幾里得整环(Euclidean domain) - 在整环R上存在一個「度量」δ，使得能進行歐幾里得算法。每個歐幾里得整环都是主理想整环，進而是唯一分解整环。
歐幾里得算法(Euclidean algorithm) - 用於計算兩個元素的gcd的演算法，在\mathbb{Z}和k[x]中最為常見。其存在依賴於環具有歐幾里得結構。

F

分式域(Field of fractions) - 對整环R，可以構造一個最小的域，其中R嵌入其中，而R中非零元素皆在此變為可逆。研究UFD性質時常在其分式域中考察「整性」。
素理想(Prime ideal) - 若理想\mathfrak{p}滿足：若ab∈\mathfrak{p}則a∈\mathfrak{p}或b∈\mathfrak{p}，則稱為素理想。整环R的零理想為素理想當且僅當R為整环。
分解定理(Factorization theorem) - 在UFD中，任意非零非單位元都可以唯一分解為有限個不可約元素的乘積，此即分解定理。

G

理想分解(Ideal factorization) - 即把一個理想寫成若干素理想的乘積。雖然一般整环未必為UFD，但在某些環（如戴德金整环）中，理想仍具有唯一的素理想分解性。
生成元(Generator) - 若理想I可寫成I = (a_1,\dots,a_n)，則稱a_1,\dots,a_n為其生成元。在主理想整环中，每個理想都有單一生成元，故稱為「主」理想。

H

同构(Isomorphism) - 在環與模的範疇中，同构是保留結構的雙射。對PID上的有限生成模存在分類定理，給出其與一些標準形模之間的同构。
同态(Homomorphism) - 保留環或模運算的映射。主理想整环與UFD上的同态常用來把問題轉化為更熟悉的環中研究。

I

不可约元素(Irreducible element) - 非零、非單位元p，若對任意分解p = ab，必有a或b為單位元，則稱p不可約。UFD的定義正是以不可約元素的唯一分解為核心。
理想類群(Ideal class group) - 衡量一個整环偏離UFD程度的重要代數對象。若整环的理想類群為平凡群，則該環為UFD。

J

雅可比根(Jacobson radical) - 環中所有極大理想的交集。在交換代數中用來描述環的「接近局部化」或「模結構」的某些性質，雖然在PID/UFD的討論中不是主角，但常出現在更進一步的研究中。

K

域(Field, 常記作 K) - 一種特殊的交換環，每個非零元素皆可逆。多項式環K[x]是最重要的例子之一，既是歐幾里得整环，也是PID和UFD。
分圓域(Cyclotomic field) - 由一個原始n次單位根生成的數域。其整數環不一定是UFD，研究其理想分解與類群是代数數論的核心問題之一。

L

局部化(Localization) - 給定環R與乘法閉集S，可構造局部化S^{-1}R，在其中S中元素變為可逆。局部化常用來「放大」某個素理想附近的性質，例如研究UFD在局部化後是否仍保持UFD。
列中模分解(Structure theorem) - 在PID上有限生成模可寫成若干循環模直和的結構定理，是線性代數中「Jordan標準形」「Smith標準形」的抽象版本。

M

極大理想(Maximal ideal) - 真理想\mathfrak{m}，其上嚴格包含的真理想只有自身。商環R/\mathfrak{m}必為域。對整环而言，素理想與極大理想的關係決定了其代數與幾何結構。
模(Module) - 對環的一種「向量空間」般的概括。PID上的有限生成模分類是主理想整环最重要的應用之一。

N

諾特環(Noetherian ring) - 每個理想升鏈穩定終止的環。PID一定是諾特環，而許多關於UFD的性質也常在諾特假設下討論。
數域(Number field) - 有限生成的有理數域擴張。其整數環一般不是UFD，但為戴德金整环，可藉由理想分解部分恢復唯一分解。

O

代數整數(Algebraic integer) - 在數域中，滿足係數為整數的首一多項式的根。其全體在加與乘下構成一個整环，稱為該數域的整數環，研究其是否為UFD是數論中的基本問題。

P

主理想整环(Principal ideal domain, PID) - 每個理想均由單一元素生成的整环。PID具有良好的分解與模分類性質，是介於一般整环與歐幾里得整环之間的重要類別。
素元(Prime element) - 非零、非單位元p，若p\mid ab則p\mid a或p\mid b。在UFD中，素元與不可約元素等價，這一點對建立唯一分解至關重要。

Q

有理數域( field of rational numbers, \mathbb{Q}) - 整數環\mathbb{Z}的分式域，是最基本的數域例子。\mathbb{Z}作為PID與UFD，其性質經常被用作更一般整环的模型。

R

環(Ring) - 交換代數的基礎對象，研究諸如PID、UFD、諾特環等特殊類別，以理解代數結構與幾何對象之間的對應。
剩餘類環(Quotient ring) - 對環R與理想I，商環R/I是把I「視為零」後得到的新環。通過適當選擇I，可以構造出域、局部環等結構。

S

唯一分解整环(Uniquely factorization domain, UFD) - 一個整环，其中每個非零非單位元都能寫成有限個不可約元素的乘積，且此分解在排列與單位元意義下唯一。PID皆為UFD，但反之不然。
Smith標準形(Smith normal form) - 針對整數矩陣或PID上矩陣的標準形，反映了對應模的分解情況，是研究線性變換和有限生成模結構的重要工具。

T

特徵(Characteristic) - 環中1+1+\cdots+1（有限次）若得到0，則其次數為特徵；否則特徵為零。PID和UFD多出現在特徵為零或素數特徵的情況中。
張量積(Tensor product) - 模之間的一種基本構造，用於在不同環之間轉移結構與性質。PID上的張量積計算較為簡單，因為模的結構已被良好分類。

U

UFD(Uniquely factorization domain) - 見「唯一分解整环」。此類整环使得「素因子分解」概念得以推廣至多項式與其他數論環中。
單位(Unit) - 見「單位元」。在UFD的分解中，單位元往往被忽略或歸入「±1」這類因子中。

V

賦值(Valuation) - 將整环或數域中的元素映到有序群，用以衡量「可除性」或「零點階數」。在研究UFD與理想分解時，賦值提供了一種量化工具。
範數(Norm) - 對數域或其整數環元素給出一個整數值函數，與因式分解及理想分解密切相關。某些「範數條件」可用來判斷UFD性。

W

Weil群/Weil除子(Weil divisor) - 在代數幾何與數論中，用形式線性組合記錄素因子或素理想的「幂次」。在一般整环中，將元素的因式分解推廣為「除子的分解」，可部分替代UFD性。
Witt向量(Witt vectors) - 用於構造帶有特定p進結構的環。雖然不直接等同於PID/UFD，但在研究p進整數環與其因子分解時經常出現。

X

形式冪級數環(Formal power series ring) - 記作Rx，其元素為無窮多項式。在某些條件下，若R為UFD，則Rx也保留若干分解性質，但一般情況須謹慎處理。

Y

Yang–Mills結構(類比) - 雖主要出現在數學物理與微分幾何中，但在抽象代数視角下，也涉及某些環與模上的結構；此處僅作為跨領域延伸方向的提示。

Z

整數環(Ring of integers) - 一般指\mathbb{Z}或數域中的代數整數環。\mathbb{Z}既是PID又是UFD，是研究主理想整环與唯一分解整环的典型模型。
零因子(Zero divisor) - 在環中非零元素a，若存在非零b使ab=0，則稱為零因子。UFD與PID都要求環為整环，因此不允許非零零因子存在。