代數/本書課文/求和/多項式公比求和

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多项式公比求和多项式乘上等比数列的求和,即

公比q等于1时就只是多项式求和

特殊情况[编辑]

时,是等比数列求和:

当多项式等差数列时,即一次多项式时,是差比数列求和:

求和方法[编辑]

错位相减法[编辑]

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,乘上公比得到

每一次错位相减会对多项式进行一次差分,一个m阶多项式进行差分后是m-1阶多项式,所以可以在有限步内用错位相减法求出多项式公比求和。[1]

逐项求导[编辑]

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两边对q求导:

由此可以递推出m阶多项式的多项式公比求和。[2]

裂项法[编辑]

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对数列做裂项:

其中若是m阶多项式,则是m阶多项式,用待定系数法求出来。[3]

差分算子公式[编辑]

[4]

其中
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无穷级数[编辑]

级数时是收敛的。

多重对数函数[编辑]

主页面:多重对数函数

所以这个级数可以表达成多重对数函数:

等比级数[编辑]

主页面:等比级数

两边逐项求导,得到:

求m次导,得到:

参考资料[编辑]

  1. 江凤莲. 利用“错位相减法”解数列问题. 龙岩师专学报. 2001, (S1). 
  2. 李曰玮 刘瑞楼. 一类特殊多项式的求和问题. 高等数学研究. 2012, (1). 
  3. 郑良. 差比型数列前n项和的求解方法——裂项法. 中学生数学. 2012, (3). 
  4. 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7).