初中數學（香港課程）/全等/2

所有三個對應角和三條對應邊相等的三角形皆是全等三角形。

• 若果兩個三角形有共同邊或角，產生對應邊或對應角可滿足全等的條件。如：$ST=ST$（共同邊）

三邊相等

只要有三條邊的長度，可以作出一個獨特的三角形。如果兩個三角形有一邊不相等，就會作出不同形狀的三角形

同樣道理，只要有三條對應邊相等，兩個三角形便全等（簡稱：SSS）

示範例子1 三角形$\Delta DEF$內，$DE=8$ cm、$EF=2$ cm和$DF=11$ cm。三角形$\Delta XYZ$內，$XY=8$ cm、$YZ=2$ cm和$XZ=11$ cm，證明$\Delta DEF\cong \Delta XYZ$ 解 $DE=XY=8$ cm（給予） $EF=YZ=2$ cm（給予） $DF=XZ=11$ cm（給予） $\Delta DEF\cong \Delta XYZ$（SSS）

同類習題1 {{{3}}}

兩邊和一夾角相等

有兩條邊的長度，夾角亦被定下，可以作出第三邊，可以作出一個獨特的三角形。

如果有兩條對應邊相等，並且形成的對應夾角相等，兩個三角形便全等（簡稱：SAS）

示範例子2 三角形$\Delta ABC$和$\Delta PQR$，$AC=PQ$、$AB=PR$、$\angle A=54^{\circ }$和$\angle P=54^{\circ }$。寫出一對全等三角形，並證明答案 解 $AC=PQ$（給予） $\angle A=\angle P=54^{\circ }$（給予） $AB=PR$（給予） $\therefore \Delta CAB\cong \Delta QPR$ （SAS）

同類習題2 {{{3}}}

一邊和兩個角相等

有一條邊的長度，並沿指定兩個鄰角延伸，終會相交形成獨特的三角形。

如果有條對應邊相等，並且邊的兩隻鄰角相等，兩個三角形便全等（簡稱：ASA）

探究
有$\Delta ABC$和$\Delta PQR$內的$\angle A=\angle P=a$、$\angle B=\angle Q=b$、$BC=QR$ 以a和b表示$\angle C$和$\angle R$，寫出此關係 利用ASA，證明$\Delta ABC\cong \Delta PQR$

因為三角形內角和，如果兩個對應角相等，並且有一對非夾邊相等，兩個三角形便全等（簡稱：AAS）

示範例子3 於$\Delta DEF$、$\Delta MNO$和$\Delta XYZ$中，$\angle D=\angle M=\angle X$。 給定$\angle E=18^{\circ }$、$\angle Y=18^{\circ }$、$\angle F=36^{\circ }$、$\angle O=36^{\circ }$和$DE=MN=XY=4$ 證明$\Delta DEF\cong \Delta MNO\cong \Delta XYZ$ 解 $\because DE=XY=4$（給予） $\angle D=\angle X$（給予） $\angle E=\angle Y=18^{\circ }$（給予） $\therefore \Delta DEF\cong \Delta XYZ$（ASA） $\because DE=MN=4$（給予） $\angle D=\angle M$（給予） $\angle F=\angle O=36^{\circ }$（給予） $\therefore \Delta DEF\cong \Delta MNO$（AAS） $\therefore \Delta DEF\cong \Delta MNO\cong \Delta XYZ$

同類習題3 {{{3}}}

直角三角形的斜邊和另一邊相等

使用一個圓的半徑，可以作出兩個兩條邊和一非夾角的銳角相等的三角形。兩條對應邊和一對應非夾角並不是全等的判別條件。

直角對面的邊是斜邊，直角三角形並不出現上述情況。直角三角形的斜邊和另一對應邊相等，兩個三角形便全等（簡稱：RHS）

示範例子4 給定MN上有$\Delta LMN$和$\Delta OMN$，假設$LM=7$ cm、$OM=7$ cm和$\angle LMN=\angle OMN=90^{\circ }$。證明$\Delta LMN\cong OMN$ 解 $MN=MN$（共同邊） $LM=OM=9$ cm（給定） 解析失败 (未知函数“\corc”): {\displaystyle \angle LMN=\angle OMN=90^\corc} （給定） $\therefore \Delta LMN\cong \Delta OMN$（RHS）

同類習題4 {{{3}}}