初中數學（香港課程）/坐標系統/3

變換將一點改變位置，畫出一個新點。這個新點為原來的點的影像。

平移

當一點向著指定方向移動時，該變換稱為平移

探究活動
以黑色圓點紙張於坐標系統標示兩點$M(8,\ 5)$和$N(6,\ 9)$ 試順序記錄M和N的新位置 向左平移2單位 向右平移3單位 向上平移1單位 向下平移4單位

左右平移時，點向水平方向移動。因此，y軸坐標不變

• 向左平移，x軸坐標和平移的單位相減
• 向右平移，x軸坐標和平移的單位相加

設原本坐標為$(x,\ y)$

向左平移z單位後的影像是$(x-z,\ y)$

向右平移z單位後的影像是$(x+z,\ y)$

上下平移時，點向鉛垂方向移動。因此，x軸坐標不變

• 向下平移，y軸坐標和平移的單位相減
• 向上平移，y軸坐標和平移的單位相加

設原本坐標為$(x,\ y)$

向下平移z單位後的影像是$(x,\ y-z)$

向上平移z單位後的影像是$(x,\ y+z)$

示範例子1 直角坐標系統上有一點$Q(8,\ -6)$，$Q$向左平移9單位至$Q_{1}$，$Q_{1}$向上平移5單位至$Q_{2}$ 解 $Q_{1}=(8-9,\ -6)=(-1,\ -6)$ $Q_{2}=(-1,\ -6+5)=(-1,\ -1)$

同類習題1 {{{3}}}

反射

反射是另一種點的變換，原本的點和影像沿反射軸呈反射對稱

探究活動
第一部分：一點反射的法則 在坐標紙上標上$I(3,\ 2)$和$J(1,\ 4)$ 試於以下地方放上鏡子，並以一把尺量度點和鏡像與鏡子的距離 x軸和y軸 $(1,\ 2)$和$(3,\ 2)$組成的直線 寫出結論 第二部分：沿軸線反射 利用上述法則 標上$I$和$J$沿x軸反射的結果，並得出坐標 標上$I$和$J$沿y軸反射的結果，並得出坐標 坐標和原本的關係是怎樣

原本的點和影像連成的直線和反射軸垂直，並和相交點的距離相等

假設$I$沿$L$反射至$I^{\prime }$ 而$II^{\prime }$交$L$於$M$

1. $IM=I^{\prime }M$
2. $II^{\prime }\perp L$

若果反射軸為x軸，即$M(x,\ 0)$

為保持垂直，$I(x,\ y_{1})$、$I^{\prime }(x,\ y_{2})$ ${\begin{aligned}IM&=I^{\prime }My_{1}-0&=0-y_{2}\\y_{1}=-y_{2}\end{aligned}}$

反射x軸時，x坐標不變，y坐標符號相反。同樣地，反射y軸時，y坐標不變，x坐標符號相反。

試考慮一點$(x,\ y)$

1. x軸反射的影像：$(x,\ -y)$
2. y軸反射的影像：$(-x,\ y)$

示範例子2 $A(6,\ -8)$沿x軸反射至$A_{1}$，$A_{1}$沿y軸反射至$A_{2}$ 求$A_{1}$和$A_{2}$的坐標 解 $A_{1}=(6,\ 8)$ $A_{2}=(-6,\ 8)$

同類習題2 {{{3}}}

Extended content
標上$M(5,\ -1)$和$N(-5,\ -1)$，連上$MN$ 試將$I(3,\ 2)$和$J(1,\ 4)$標上 標上沿$MN$反射的影像 記錄原點和反射軸的距離，以及原點和影像的距離 得出結論

$\because IM=I^{\prime }M$

$\therefore II^{\prime }=2IM$

一點和影像的距離是一點和反射軸的垂直距離的兩倍

沿任一水平或垂直線反射時，相等於沿反射軸的方向平移，距離為和影像的距離

假設一點$(x,\ y)$和反射軸$L$的垂直距離為$k$，影像坐標取決於反射軸為該點的：

1. 左方$=(x-2k,\ y)$
2. 右方$=(x+2k,\ y)$
3. 上方$=(x,\ y+2k)$
4. 下方$=(x,\ y-2k)$

示範例子3 $D(10,\ -5)$沿穿過$(4,\ 0)$的直線$L$反射至$D^{\prime }$，求$D^{\prime }$的坐標 解 $10-4=6$ $D$和$L$的距離為6單位 設$D^{\prime }(x,\ -5)$ ${\begin{aligned}4-x&=6\\4-6&=x\\x&=-2\end{aligned}}$ $D^{\prime }=(-2,\ -5)$

同類習題3 {{{3}}}

旋轉

線段可沿其中一端點旋轉，該點為旋轉的中心

一點$B$沿旋轉中心$O$旋轉等同於連著旋轉點$B$和旋轉中心$O$的線段$OB$沿旋轉中心$O$的旋轉

判斷以原點為中心的旋轉中，影像坐標的方法：

1. 連接原點和旋轉點為一線段
2. 畫出旋轉後的線段
3. 觀察所在的象限，記錄端點坐標

若果順時針旋轉和對應逆時針旋轉的角度總和一圈，影像的位置一樣。

• 90°和270°旋轉後的x坐標和y坐標調轉，180°和360°則維持不變

順時針旋轉$n^{\circ }$和逆時針旋轉$(360-n)^{\circ }$等同：

1. 順時針旋轉$90^{\circ }=$逆時針旋轉$270^{\circ }=(y,\ -x)$
2. 旋轉$180^{\circ }=(-x,\ -y)$
3. 順時針旋轉$270^{\circ }=$順時針旋轉$90^{\circ }=(-y,\ x)$

示範例子4 $C(-9,\ 7)$順時針旋轉90°至$C_{1}$，$C$旋轉180°至$C_{2}$ 寫出$C_{1}$和$C_{2}$的坐標 解 $C_{1}=(7,\ 9)$ $C_{2}=(9,\ -7)$

同類習題4 {{{3}}}