初中數學（香港課程）/多項式的因式/1

一個多項式的因式為乘上其它多項式可成為原本的多項式的多項式

因式分解是把多項式表達多個無法再因式分解的因式之積的過程，即展開的逆轉

例子：把$4(a+2)$展開得$4a+8$；相反地，把$4a+8$因式分解得$4(a+2)$。其中，4和$a+2$為$4a+8$的因式。

提取公因式

兩個項的共同因式稱作公因式

通過把每個項表示為公因式和餘下因式的積，可套用乘法分配性質$ab+ac=a(b+c)$逆轉展開，進行因式分解

• 餘下因式為原本的項除以公因式

示範例子1 因式分解 $18mn-27n$ $-5x-35$ $6p^{2}q^{3}+24pq^{2}$ 解 $18mn-27n={\color {blue}9n}\cdot 2m-{\color {blue}9n}\cdot 3={\color {blue}9n}(2m-3)$ $-5x-35=x{\color {red}(-5)}+7{\color {red}(-5)}={\color {red}-5}(x+7)$ $6p^{2}q^{3}+24pq^{2}=6pq^{2}\cdot p+6pq^{2}\cdot 4q=6pq^{2}(p+4q)$

同類習題1 {{{3}}}

示範例子2 因式分解 $16y^{2}z-24yz+32yz^{2}$ $b(2b-7)+8(2b-7)$ $6k(k+1)-9$ 解 $16y^{2}z-24yz+32yz^{2}=8yz(2y-3+4z)$ $b(2b-7)+8(2b-7)=(b+8)(2b-7)$ $6k(k+1)-9=6k^{2}+6k-9=3(2k^{2}+2k-1)$

同類習題2 {{{3}}}

分組併項法

若果不能將所有項提取公因式，可先把有公因式的項獨立處理，提取公因式。不鄰近的項需重排才能因式分解

• 最終答應需為因式的乘積，不應有其它項

示範例子3 因式分解 $c^{2}-cd+5c-5d$ $4u+3v-36u^{2}-27uv$ $99r^{3}-14s^{2}+77r^{2}s-18rs$ 解 $c^{2}-cd+5c-5d=c(c-d)+5(c-d)=(c+5)(c-d)$ $4u+3v-36u^{2}-27uv=(4u+3v)-9u(4u+3v)=(1-9u)(4u+3v)$ ${\begin{aligned}99r^{3}-14s^{2}+77r^{2}s-18rs&=99r^{3}+77r^{2}s-18rs-14s^{2}\\&=11r^{2}(9r+7s)+2s(9r+7s)=(11r^{2}+2s)(9r+7s)\end{aligned}}$

同類習題3 {{{3}}}

示範例子4 因式分解 $(8h-1)^{2}-3+24h$ $7w^{2}-35w+6lw-30l+4l^{2}w-20l^{2}$ 解 ${\begin{aligned}(8h-1)^{2}-3+24h&=(8h-1)(8h-1)-3(1-8h)\\&=(8h-1)(8h-1)+3(8h-1)\\&=(8h-1+3)(8h-1)\\&=(8h+2)(8h-1)=2(4h+1)(8h-1)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}7w^{2}-35w-6lw+30l+4l^{2}w-20l^{2}&=7w(w-5)-6l(w-5)+4l^{2}(w-5)\\&=(7w-6l+4l^{2})(w-5)\end{aligned}}$ 替代解（第2題） ${\begin{aligned}7w^{2}-35w-6lw+30l+4l^{2}w-20l^{2}&=7w^{2}-6lw+4l^{2}w-35w+30l-20l^{2}\\&=w(7w-6l+4l^{2})-5(7w-6l+4l^{2})\\&=(w-5)(7w-6l+4l^{2})\end{aligned}}$

同類習題4 {{{3}}}

示範例子5 $6ab-27b-8a+36$ $6(t+7)(5t-1)-27(5t-1)-8(t+7)+36$ 解 ${\begin{aligned}6ab-27b-10a+45&=3b(2a-9)-4(2b-9)\\&=(3b-4)(2a-9)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}6(t+7)(5t-1)-27(5t-1)-8(t+7)+36&=[3(t+7)-4][2(5t-1)-9]\\&=(3t+21-4)(10t-2-9)\\&=(3t-17)(10t-11)\end{aligned}}$

同類習題5 {{{3}}}