初中數學（香港課程）/恆等式與公式/1

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考慮下列方程 $x-1=x+2$ $3(h+9)=3h+27$ 嘗試解方程1和2 方程1和2能否被解？ 部分方程未必能解，用下列的表試值：<

方程式可以沒有解或有無限多解，並不一定只有唯一一個解

有無限多解的方程為恆等式，可以用「$\equiv$」取代恆等式的等號

證明

當方程的左邊和右邊為相同的代數式，顯然為恆等式。

通過展開和化簡兩邊的代數式，可證明恆等式

示範例子1 證明下列恆等式 $8(y-1)+6y\equiv 2(7y+4)$ ${\frac {n+4}{5}}+{\frac {3n-2}{9}}\equiv {\frac {24n+26}{45}}$ 解 ${\begin{aligned}{\text{L.H.S.}}&=8(y-1)+6y&{\text{R.H.S.}}&=2(7y-4)\\&=8y-8+6y&&=14y-8\\&=14y-8\end{aligned}}$ $\because {\text{L.H.S.}}={\text{R.H.S.}}$ $\therefore$ 這個是恆等式 ${\begin{aligned}{\text{L.H.S.}}&={\frac {n+4}{5}}+{\frac {3n-2}{9}}\\&={\frac {9(n+4)}{45}}+{\frac {5(3n-2)}{9}}\\&={\frac {9n+36+15n-10}{45}}&={\frac {24n+26}{45}}={\text{R.H.S.}}\end{aligned}}$ $\because {\text{L.H.S.}}={\text{R.H.S.}}$ $\therefore$ 這個是恆等式

同類習題1 {{{3}}}

示範例子2 判斷$(p+9)(7p-6)=7p(p-5)+3(p+18)$是否恆等式 解 ${\begin{aligned}{\text{L.H.S.}}&=(p+9)(7p-6)&{\text{R.H.S.}}&=7p(p+9)-6(p-3)\\&=7p^{2}-6p+63p-54&&=7p^{2}+63p-6p-18\\&=7p^{2}+57p-54&7p^{2}+57p-18\end{aligned}}$ $\because {\text{L.H.S.}}\neq {\text{R.H.S.}}$ $\therefore$不是恆等式

同類習題2 {{{3}}}

求常數

利用含未知常數的恆等式，可通過比較兩邊的同類項，得出未知常數的值

示範例子3 給予$6(q-5)+A\equiv Bq+8$，求常數$A$和$B$ 解 ${\text{L.H.S.}}=6(q-5)+A=6q-30+A$ $\therefore 6q-30+A\equiv Bq+8$ ${\begin{aligned}B=6&&-30+A&=8\\&&A&=38\end{aligned}}$

同類習題3 {{{3}}}

示範例子4 給予$(Az-9)(5z+B)\equiv 10z(z-7)+C$，求常數$A$、$B$和$C$ 解 ${\begin{aligned}{\text{L.H.S.}}&=(Az-9)(5z+B)&{\text{R.H.S.}}&=7z(z-4)+C\\&=5Az^{2}+ABz-40z-9Bz&&=10z^{2}-40+C\end{aligned}}$ $\therefore 5Az+ABz-40z-9Bz\equiv 10z^{2}-70z+C$ ${\begin{aligned}5A&=10&2B-40&=-70&C&=-9\cdot 15\\A&=2&2B&=30&C&=-135\\&&B&=15\end{aligned}}$

同類習題4 {{{3}}}