初中數學（香港課程）/恆等式與公式/3

平方差和完全平方可作因式分解

1. $a^{2}-b^{2}\equiv (a+b)(a-b)$
2. $a^{2}+2ab+b^{2}\equiv (a+b)^{2}$
3. $a^{2}-2ab+b^{2}\equiv (a-b)^{2}$

示範例子1 因式分解 $144-x^{2}$ $25u^{2}-9v^{2}$ $72p^{2}-98$ 解 $144-x^{2}=12^{2}-x^{2}=(12+x)(12-x)$ $25u^{2}-9v^{2}=(5u+3v)(5u-3v)$ $72p^{2}-98=2(36p^{2}-49)=2(6p+7)(6p-7)$

同類習題1 {{{3}}}

示範例子2 因式分解 $z^{2}-16z+64$ $100a^{2}+180ab+81b^{2}$ $n^{3}-2n^{2}+n$ 解 $z^{2}-16z+64=z^{2}-2\cdot 8z+8^{2}=(z-8)^{2}$ $100a^{2}+180ab+81b^{2}=(10a+9b)^{2}$ $n^{3}-2n^{2}+n=n(n^{2}-2n+1)=n(n-1)^{2}$

同類習題2 {{{3}}}

示範例子3 $(3y-5)^{2}-(y+4)^{2}$ $49(z-6)^{2}+70(z-6)+25$ 解 ${\begin{aligned}(3y-5)^{2}-(y+6)^{2}&=[(3y-5)+(y+4)][(3y-5)-(y+6)]\\&=(3y-5+y+6)(3y-5-y-6)\\&=(4y-1)(2y-11)\end{aligned}}$ \begin{align} 49(z-6)^2+70(z-6)+25&=[7(z-6)-5]^2\\ &=(7z-42-5)^2\\ &=(7z-47)^2 \end{align}

同類習題3 {{{3}}}

示範例子4（綜合題） 因式分解$64l^{2}-176l+121$ 從上題，因式分解$72l^{4}-99l^{3}-64l^{2}+176l-121$ 從上題，化簡${\frac {3l}{72l^{4}-99l^{3}-64l^{2}+176l-121}}\cdot {\frac {56l-77}{6l^{5}}}$ 解 $64l^{2}-176l+121=(8l-11)^{2}$ ${\begin{aligned}72l^{4}-99l^{3}-64l^{2}+176l-121&=9l^{3}(8l-11)-(64l^{2}-176l+121)\\&=9l^{3}(8l-11)-(8l-11)^{2}\\&=[9l^{3}-(8l-11)](8l-11)=(9l^{3}-8l+11)(8l-11)\end{aligned}}$

同類習題4（綜合題） {{{3}}}