初中數學（香港課程）/求積法/1

圓形

探究活動
一張圓形的紙張 均分為8份。 試重排這些小份為一個類似長方形的圖形 如何求長方形的面積 所以圓形的面積（大概）是：

我們均分一個半徑r、周長C的圓形為小份，重排為長方形後，周長C成為長方形的兩邊，即長為周長的一半（${\frac {1}{2}}C$），小份的半俓r成為寬，即原本的半徑r。

這個只近似長方形，面積約是

${\begin{aligned}A&\approx {\frac {1}{2}}C\cdot r\\&={\frac {1}{2}}\cdot 2\pi r\cdot r\\&=\pi r^{2}\end{aligned}}$

每份愈少，重排得出的圖形愈接近長方形。假設切無限份，圓形的面積等同長方形面積，即$\pi r^{2}$

示範例子1 求一個直徑為6 cm的圓的面積（以$\pi$表示） 假設一個圓的面積為$25\pi$，求半徑 $\pi ({\frac {6}{2}})^{2}=9\pi$ 設半徑為r ${\begin{aligned}\pi r^{2}&=25\pi \\r^{2}&=25\\r&=5\end{aligned}}$

同類習題1 {{{3}}}

示範例子2 一個複合圖形併上了梯形的下底和半圓的直徑，若果半圓的直徑是4 cm、梯形的上底與高分別為1 cm和 7 cm，求複合圖形的面積（取三位有效數字） $\pi \cdot 4^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot 7(1+4)\approx 67.8$ cm2

同類習題2 {{{3}}}

圓柱體的體積

圓柱體可以使用角柱體的公式（底面積 $\times$ 高）。同樣分割能重組為長方體。

假設高為h

圓柱體體積 $=$ 底面積 $\times$ 高 $=\pi r^{2}h$（套入圓形底的面積，r為半徑）

示範例子3 圓柱體的半徑7 cm，高10 cm，求體積（以$\pi$表示</math>） 圓柱體的半徑3 cm，體積250 cm2，求高。（取三位有效數字） $10\pi \cdot 7^{2}=490\pi$ 設高為h ${\begin{aligned}3^{2}\cdot \pi h&=250\\h&=8.84\end{aligned}}$ 高是8.84 cm

同類習題3 {{{3}}}

示範例子4 一個金屬製邊長20 cm的正方體內割開了貫穿整個立體、半徑4 cm的圓柱體小洞。 求體積（答案取至一位小數位） 若果這個立體被熔掉，並重塑為高9 cm的圓柱體，求圓柱體的半徑（答案取三位有效數字） 解 $20^{3}-4^{2}\cdot 20\pi =6\ 994.7$ 設半徑為r ${\begin{aligned}9\pi r^{2}&=699\ 4.7\\r^{2}&=777.189\\r&=27.9\end{aligned}}$ 圓柱體的半徑是27.9 cm

同類習題4 {{{3}}}

示範例子5 一個灌了水的圓柱體的水缸半徑8 cm，現放置40枚半徑2 cm、高0.3 cm</math>的硬幣。 假設沒有溢出，水位上升了多少？ 若果原本水位是6 cm，而水缸高9 cm，水會不會溢出？ （取至三位有效數字） $40\cdot 2^{2}\cdot 0.9\pi =144\pi$ 設水位上升了l cm ${\begin{aligned}8^{2}\cdot \pi l&=144\pi \\l&=2.25\end{aligned}}$ 水位上升了2.25 cm $6+2.25=8.25$ 新水位是8.25 cm $\because 8.25\ {\text{cm}}<9\ {\text{cm}}$ $\therefore$ 不會溢出

同類習題5 {{{3}}}