初中數學（香港課程）/求積法/2

一個立體的表面積是構成的面的面積總和。等同於立體的摺紙圖面積。

角柱體的表面積

探究活動
教師將給予長方體和三角柱體的摺紙圖 摺紙圖分別有多少個底和側面 把相等的邊以同一款顏色／未知數標記 從此表達每面的面積 把立體摺出來，表達立體的表面積

試考慮柱體，有兩個底和長方形側面。長方形的長是柱體的高，寬是底的其中一邊，每邊對應一面側面。攤出來，我們知道整面側面的長是所有邊的總和，即周界。寛依然是柱體的高。因此，

柱體的表面積$=2\times$ 底面積$\ +\$周界$\times$高

示範例子1 一個三角柱體，底的三邊分別為3 cm、4 cm、5 cm，高9 cm 求側面面積 求表面積。 解： $9(3+4+5)=108\ {\text{cm}}^{2}$ $2\cdot {\frac {1}{2}}\cdot 3\cdot 4+108=120\ {\text{cm}}^{2}$

同類習題1 {{{3}}}

示範例子2 一個長方體，寛10 cm、高7 cm，若果表面積為344 cm2，求長。 解：設長為l ${\begin{aligned}2\cdot 10l+2(10+l)\cdot 7&=344\\20l+14(10+l)&=344\\20l+140+14l&=34434l&=204\\l&=6\end{aligned}}$ 長是6 cm

同類習題2 {{{3}}}

示範例子3 一個正方體的邊長為18 cm。一個長9 cm、寬1 cm的長方形洞被割開，形成一個凹字形 求底面積和側面面積 求表面積 解： $18^{2}-9\cdot 1=315$ 底面積是315 cm2 $18(4\cdot 18+2\cdot 1)=1\ 332$ 側面面積是1 332 cm2 $2\cdot 315+1\ 332=1\ 962$ 表面積是1 962 cm2

同類習題3 {{{3}}}

示範例子4 一個直角梯形柱體的開口紙容器的底ABCD，$AB\perp BC$、AB=12 cm、CD=13 cm、AD=3 cm、BC=8 cm，高9 cm，並在頂黏上邊長12 cm的正方形紙片。 求紙的總面積 這個容器灌了水位7 cm高的水，求濕了水的紙的面積 ${\frac {1}{2}}\cdot 12(3+8)+9(12+8+13+3)+12^{2}=534\ {\text{cm}}^{2}$ ${\frac {1}{2}}\cdot 12(3+8)+7(12+8+13+3)=318\ {\text{cm}}^{2}$

同類習題4 {{{3}}}

圓柱體的表面積

適用於角柱的表面積公式同樣適用於圓柱。

假設半徑r、高h：

圓柱體的表面積$=2\times$ 底圓面積$\ +\$圓周$\times$高

$=2\pi r^{2}+2\pi rh$

示範例子5 圓柱的直徑24 cm、高16 cm，求表面積（以$\pi$表示） 圓柱的半徑是2 cm，表面積90 cm2，求高（取至三位有效數字） 解： ${\frac {24}{2}}=12$ 半徑為12 cm $2\pi \cdot 12^{2}+2\pi \cdot 12\cdot 16=288\pi +384\pi =672\pi \ {\text{cm}}^{2}$ 設高為h ${\begin{aligned}2\pi \cdot 2^{2}+2\pi \cdot 2h&=90\\25.132\ 7+4h\pi &=90\\4h\pi &=64.867\ 3\\h&=5.16\end{aligned}}$ 高是5.16 cm

同類習題5 {{{3}}}

示範例子6 一條直立半徑14 cm的玻璃杯被灌了$1\ 372\pi$ mL的水，求水接觸面的總面積。（取整） ${\begin{aligned}14^{2}\cdot \pi h&=1\ 372\pi \\h&=7\end{aligned}}$ 水位是7 cm $2\pi \cdot 14^{2}+2\pi \cdot 14\cdot 7=1\ 847\ {\text{cm}}^{2}$

同類習題6 {{{3}}}