初中數學（香港課程）/角的定理/1

幾何中，不同物體的關係稱為定理。於證明中使用定理須寫上原因

直線上的鄰角

兩隻角有共同的邊和頂點稱為鄰角（英：adjacent angles）

因為平角（180°）即是兩邊為同一條直線組成的角度，於同一條直線上組成的所有鄰角總和為180°。 （簡稱：直線上的鄰$\angle$）

示範例子1 給定$\angle AOB=135^{\circ }$、$\angle BOC=x$、$\angle COD=60^{\circ }$和$\angle DOE=y$，且AOC和BOE為直線。求x和y 解 ${\begin{aligned}135^{\circ }+x&=180^{\circ }\\x&=45^{\circ }\end{aligned}}$（直線上的鄰$\angle$） ${\begin{aligned}45^{\circ }+60^{\circ }+y&=180^{\circ }\\y&=75^{\circ }\end{aligned}}$（直線上的鄰$\angle$）

同類習題1 {{{3}}}

對頂角

兩隻有共同頂點又沒有共同邊的角稱作對頂角（英：vertically opposite angles）

兩條相交的直線中，有一對銳角的對頂角（a、b）和一對鈍角的對頂角（c、d）。

${\begin{aligned}a+c&=180^{\circ }\\c&=180^{\circ }-a\end{aligned}}$（直線上的鄰$\angle$）

${\begin{aligned}b+c&=180^{\circ }\\b+180^{\circ }-a&=180^{\circ }\\b&=c\end{aligned}}$（直線上的鄰$\angle$）

因此，兩對對頂角相等（簡寫：對頂$\angle$）

示範例子2 給定PQ和RS相交於O，$\angle QOS=72^{\circ }$、$\angle POT=54^{\circ }$和$\angle ROT=a$，求a。 解 ${\begin{aligned}54^{\circ }+a&=72^{\circ }\\a&=18^{\circ }\end{aligned}}$（對頂角）

同類習題2 {{{3}}}

同頂角

有共同頂點的角稱為同頂角

兩條邊重疊，如旋轉一圈一樣，成一周角（360°）。同頂角皆是有兩邊重疊的大角之中的一部分。頂點中所有同頂角的總和是360°。

（簡稱：同頂$\angle$）

示範例子3 $\angle WVX=b$、$\angle XVY=90^{\circ }$、$\angle YVZ=2b$和$\angle ZVW=15^{\circ }$，求b。 解 ${\begin{aligned}b+90^{\circ }+2b+15^{\circ }&=360^{\circ }\\3b&=255^{\circ }\\b&=85^{\circ }\end{aligned}}$（同頂$\angle$）

同類習題3 {{{3}}}

示範例子4 給定一對線$PQ\ //\ ST$，$\angle PQR=54^{\circ }$和$\angle RST=150^{\circ }$，求$\angle QRS$。 解 作一線RU，使$PQ\ //\ RS$ $\angle QRU=54^{\circ }$（內錯$\angle$，$PQ\ //\ RU$） ${\begin{aligned}\angle SRU+150^{\circ }&=180^{\circ }\\\angle SRU&=30^{\circ }\end{aligned}}$（同旁內$\angle$，$RU\ //\ ST$） $\angle QRS=30^{\circ }+54^{\circ }=84^{\circ }$

同類習題4 {{{3}}}