利息计算

利息计算是指用数学的方法来计算由于存款或者信贷而形成的具有計算性质的利息的过程。

基本概念

符号	意义
$K_{0}$	本金 ( 初始资本 )
$n$	期限
$p$	100元钱在利息周期内的利息额
$i$ ( $i$= $p$ / $100$ )	利率 ( 一元钱在一个利息周期内的利息额 )
$K_{n}$	收益 ( 在期限结束时 )

利息周期一般情况下是指一年，在这种情况下称为年利息，或简称年息，常用 p.a. ( per annum ) 来表示。如果利息周期少于一年，例如半年，季度或者月份，则称之为低年利息，或低年息。另一个重要概念是有关于利息的具体核算时间，如果利息在每个利息周期结束时核算，称之为后期利息 ( 有的书中也称作补期利息 )，在这种情况利息计算以利息周期开始时的初始资本为准，也就是说，后期利息实际上是本金在利息周期里的利息，用公式表示如下：

 收益 = 本金 + 本金的利息

然而在实践中还存在着另一种比较少见的情况，即利息在利息周期开始时就开始核算，这时的利息计算以利息周期结束时的收益为准，此时的利息人们称之为先期利息 ( 有的书中也称作预期利息 )，也就是说，先期利息实际上是收益在利息周期裡的利息，用公式表示如下：

 本金 = 收益 -  收益的利息

总结：

标准	区分
按照利息周期长短	年息 ( 利息周期为 1 年 )
	低年息 ( 利息周期为 1 年的一部分 )
按照利息核算时间	以本金为准的后期利息
	以收益为准的先期利息

后期年利息

后期年息利息是利息计算的一种标准形式，利息计算周期始终为一年 ( p.a. )， 在利息计算过程中，也是始终以本金 ( 初始資金 ) 为基础。

单利

下面通过一个例子来解释单利的含义。一储户将 1000 元钱以利率 8% ( p.a. ) 存入银行 2 年，一年后，该储户的资本除了本金 1000 元还包括利息，其中利息为：
$i$ × $K_{0}$ = 0.08 × 1000 = 80 元
那么，该储户第二年获得的利息是多少呢？假设银行将第一年的利息支付给了储户，那么第二年的利息仍然是本金 1000 元在一年的利息，即 80 元，因此储户在两年内得到的利息一共为 160 元。
以上这种计算利息的方法被称之为单利，在单利计算中，每个利息周期产生的利息被支付出去，也就是说在整个期限内的各个利息周期的利息保持不变。后期年息单利的收益计算方法可用如下公式表示：

$K_{n}=K_{0}\cdot (1+n\cdot i)$

因此上面例子中储户两年后的收益为：

$K_{2}=1000\cdot (1+2\cdot 0{,}08)=1160$

混合单利

上面的例子中只提到了整个利息期限是整数年的收益计算方法，然而在实践中经常会出现期限不是整数年的情况，比如储户的存款期限为 3 年，7 个月另 12 天，这时的收益的计算方法仍然按照上面的公式，但是要把月和天数换算成年数。在经济数学领域的日期换算中遵照如下约定：1 年有 360 天，1 个月有 30 天。

例如，一储户将 20000 元以年利率 7% 存入银行，3 年 7 个月另 12 天后，他的收益是：

$K_{n}=20000\cdot [1+(3+{\frac {7}{12}}+{\frac {12}{360}})\cdot 0{,}07]=25063.33$

复利

还是上面那个例子，一储户将 1000 元钱以利率 8% ( p.a. ) 存入银行 2 年，第一年的利息为 80 元，收益为 1080 元。假设第一年的利息不支付给储户，而是算在第二年利息的本金里，那么第二年的利息将是本金 1080 元在一年的利息，即 0.08 × 1080 = 86.4 元，这时储户两年内一共获得的利息是 80 + 86.4 = 166.40 元。
以上这种计算利息的方法被称之为复利，在复利计算中，每个利息周期产生的利息不被支付出去，而是算在接下去发生的利息周期的本金里。后期年息复利的收益计算方法可用如下公式表示：

$K_{n}=K_{0}\cdot (1+i)^{n}$

因此上面例子中储户两年后的收益为：

$K_{2}=1000\cdot (1+0{.}08)^{2}=1166{.}40$

混合复利

混合复利类似与混合单利，即整个利息期限不是整数年，这时计算收益的原则如下，整数年期限按照复利计算，对于余下的非整数年期按单利计算，因此有如下计算公式：

$K_{n}=K_{N+t}=K_{0}\cdot (1+i)^{N}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t}{360}}\right)$

例如，一笔 20000 元的本金存入银行 3 年，7 个月又 12 天，利率是复利 7％，最终收益是：

$K=20000\cdot (1+0.07)^{3}\cdot \left(1+0.07\cdot {\frac {222}{360}}\right)=25558.48$

日历年利息

银行在计算以上所论及到的年息周期时具体是指从 1 月 1 日到同年的 12 月 31 日这段时间的利息，即正好是一个日历年，因此年息也可以说成是日历年息。然而在实践中，整个利息期限不可能与日历年完全吻合，这种情况下的利息的计算方法是：在整数日历年内发生的利息按照复利计算，之前或者之后不足一个日历年发生的利息按照单利计算，因此有如下公式：

$K=K_{0}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t_{1}}{360}}\right)\cdot (1+i)^{N}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t_{2}}{360}}\right)$

例如，一储户将 10000 元在 1990 年 10 月 1 日以年利率 8％ 存入银行，到 1993 年 9 月 30 日他应获得的收益将是：

$K=10000\cdot \left(1+0{,}08\cdot {\frac {90}{360}}\right)\cdot (1+0{,}08)^{2}\cdot \left(1+0{,}08\cdot {\frac {270}{360}}\right)=12611.12$

上面的示意图表明，虽然本金存储期限为 3 年，但是只有 2 个日历年，或者说只有 2 个整利息周期，之前和之后的时间分别为 90 和 270 天。

这种日历年息计算方法有利于投资方，因为如果按照普通的复利计算方法，储户在 3 年后获得的收益是：

$K_{3}=10000\cdot (1+0{,}08)^{3}=12597.12$

后期低年利息

低年息是指利息计算周期少于一年，例如半年，一季度，一个月等。在计算中用小写字母 $h$ 来表示每年的利息周期数，为了同后期年利息利率 $i$ 和期限 $n$ 区分，用小写字母 $j$ 来表示每个利息周期内的低年息利率，以及用 $m$ 表示以低年周期为单位的利息期限，这样，$n$，$m$，$h$ 之间有如下关系，

$m=h\cdot n$

利息计算周期	半年	一季度	一个月	一天
每年利息周期数	$h=2$	$h=4$	$h=12$	$h=360$

例如，整个利息期限为 4 年 3 个月另 12 天 ( 即 $4.28{\bar {3}}$ 年 ) 在利息计算周期为半年的情况下 ( 即 $h=2$ ) 的以低年周期为单位的利息期限 $m$ 应该是

$m=2\cdot 4.28{\bar {3}}=8.5{\bar {6}}$

即 8.56 个半年 ( 4 年 + 102 天 ) 。
根据公式 $m=hn$ 可以很容易的从后期年息公式导出低年息公式，过程是只须分别用 $j$ 和 $m$ 替换 $i$ 和 $n$，下面是后期年息和低年息的比较一览：

	低年息	年息
单利	$K_{m}=K_{0}\cdot (1+m\cdot j)$	$K_{n}=K_{0}\cdot (1+n\cdot i)$
复利	$K_{m}=K_{0}\cdot (1+j)^{m}$	$K_{n}=K_{0}\cdot (1+i)^{n}$
混合复利	$K_{m}=K_{0}\cdot (1+j)^{M}\cdot \left(1+j\cdot {\frac {t}{180^{*}}}\right)$	$K_{n}=K_{0}\cdot (1+i)^{n}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t}{360}}\right)$

$*$这里所列的是利息周期为半年的情况，相应的如果利息周期为一季度或者一个月，则是 90 以及 30 。

例如，一笔款项 2000 元以利息核算周期为季度以及复利利率为 2％ 存入银行 2 年另 8 个月，最终收益是多少？
本例中，$j=2\%$，$h=4$，$n=$ 2 年 + 8 个月，$m=$ 10 个季度 + 60 天 = $10.{\bar {6}}$ 个季度，
$K_{m}=2000\cdot (1+0.02)^{10}\cdot \left(1+0.02\cdot {\frac {60}{90}}\right)=2470.50$

名利率，相对利率，实利率，相符利率

年息利率 $i$ 与 低年息利率 $j$ 在相同的本金 $K_{0}$ 和相同整个利息期限 $n$ 情况下回导致完全不同的收益结果，原则上是低年息利率会导致比年息更高的复利收益。例如，1000 元以年利率 $i=8\%$存入银行 2 年 ( 相应的低年季度利率 $j=i/4=2\%$ )，按年息算最后收益是$K_{2}=1000\cdot (1+0.08)^{2}=1166.40$，如果按照低年息季度利率计算收益则是$K_{8}=1000\cdot (1+0.02)^{8}=1171.66$

在如上的例子中，年利率 $i$ 被称之为名利率，相应的低年息利率 $j$ 称之为相对利率。在计算中，若想获得相同的年息收益 1166.40 元，那么低年息季度利率应该为 $j_{k}={\sqrt[{8}]{\frac {1166.40}{1000}}}-1=1.9427\%$，此时的低年季度利率 $j_{k}$ 叫做实利率。同样，若想获得相同的低年息收益 1171.66 元，那么年息利率应该为 $i_{e}={\sqrt {\frac {1171.66}{1000}}}-1=8.2432\%$，此时的年息利率 $i_{e}$ 被称之为相符利率。

名利率	$i$
相对利率	$j={\frac {i}{h}}$
实利率	$j_{k}={\sqrt[{h}]{1+i}}-1$
相符利率	$i_{e}=(1+j)^{h}-1$

先期利息

与后期利息计算方法不同的是，先期利息在利息周期开始时就开始核算，这时的利息计算以利息周期结束时的收益 $(K_{n})$ 为准，也就是说，先期利息实际上是收益 $(K_{n})$ 在利息周期里的利息。例如，您要在贷款方借一笔款项并承诺一年以后连本带息以 10000 元偿还，贷款方向您索取 12％ 的先期利率，那么您获得的贷款金额为$K_{0}=K_{1}-i_{x}\cdot K_{1}=10000\cdot (1-0.12)=8800$元。

先期单利和先期复利

先期单利和先期复利的含义因为可分别用如下公式表示，$K_{0}+n\cdot i_{x}\cdot K_{n}=K_{n}$ 以及 $K_{n}=K_{n-1}+i_{x}\cdot K_{n}$,所以可以导出收益 $(K_{n})$ 的公式：

利息形式	收益公式
先期单利	$K_{n}={\frac {K_{0}}{1-n\cdot i_{x}}}$
先期复利	$K_{n}={\frac {K_{0}}{(1-i_{x})^{n}}}$

( $i_{x}$ 表示先期利率 )

替换利率和先期利率

替换利率致力于研究后期利率和先期利率的关系，其定义是若想获得相同的先期收益 $K_{n}$ 而必须的后期利率被称之为替换利率 $i_{t}$ ，即

$K_{0}\cdot (1+i_{t})^{n}={\frac {K_{0}}{(1-i_{x})^{n}}}\longrightarrow i_{t}={\frac {i_{x}}{(1-i_{x})}}$

参见

利率 复利