基础力学

物理学研究世界万物的运动规律，物理学中两个基本的问题是：如何描述世界在某一时刻的状态，世界的状态随着时间的流逝而变成什么样子。力学所关心的就是世间万物机械运动的规律，或者说怎样描述物体的位置，以及它们位置怎样随时间而改变。本书的第一章解决前一个问题，第二章解决第二个问题。有了这两章的基础，我们就打好了理论的基础，接下来的第三章是一些重要的实例，而第四章会从前面的基础理论出发推导出一些更深刻结果。

点的运动

在人的通常经验里，物体占据着空间，并可以随着时间的流逝而连续地改变其所占据空间的部分。运动学研究这个现象中蕴含的常定规律。亦即运动学的任务：描述随时间的推移物体空间位置的变化规律，而不分析物体运动的力学原因。这一章讨论最基本的问题：点的运动问题。点的运动问题等价于在时空坐标系中点的运动轨迹的确定问题。在定义参照系后，我们介绍点的时空变量之间要满足的一组数学约束--伽利略变换。

运动的数学模型

本节我们构建研究点的运动所需要的数学模型：我们将看到微积分和解析几何在运动学中的应用。

问题的简化：质点

日常生活中的物体，都是有形状、大小的。然而，准确的分析物体上每一点的运动是有困难的。因此，如果研究的物体的大小、形状对所研究的问题无关紧要的话，我们就可以忽略物体的大小、形状，而将物体仅仅看作一个有质量的点，称为“质点”。质点是运动学中重要的理想化模型。

质点：带质量的几何点称为“质点”。

^[1]

一般来说，“点”给人的印象是它非常小。然而一个物体你能否被简化为质点与其大小无关，而仅仅与研究问题的性质有关。如果研究的问题只与（或主要取决于）物体的质量和位置，而不涉及（或可忽略）其大小、结构、转动，则不论其大小，均可看成质点，如研究地球绕太阳的运行轨迹，而非其自转时，即可将其看作质点；反之若是研究乒乓球的自旋，或者火车通过不很长的铁轨所用的时间，则不能将其看作质点。

物体的运动与静止：参考系

我们可能会认为，自己能够很正确、轻松的判断出物体是否在运动，并且在同一时刻，一个物体是否运动是惟一确定的。果真如此吗？如果你站在地上，看到一辆汽车飞驰而过，你一定认为道路是“静止”的，而汽车是“运动”的；不过我想问问你，如果你坐在车里时，你是否看见路旁的树、商店、道路飞快的向后奔去？如此一来，车岂不是成了“静止”的，而道路是“运动”的？当然你可以辩解说，这仅仅是你的错觉。好！让我们再把眼光放远一点，假定你定居在太阳之上（当然那不可能，你瞬间就会被汽化），看着地球上的道路（假定你是千里眼），这回？呵呵，它们又运动了吧？还是错觉？你不是常说，地球绕着太阳转吗？

有点乱了？从以上的例子里，我们可以得出一个结论：物体的运动和静止是相对的。我们再来分析一下，当你说“车子在动”时，其实有一个隐含的假设：地没在动。当你说，地球绕着太阳转是，也隐含一个假设：太阳没在动。因此，我们还可以得出一个结论：物体动没动，取决于你所规定的“静止”的物体，而这个物体，就叫做“参考系”。

参考系：要描述一个物体的运动，首先要选取某个“其他物体”作参考，观察物体相对于这个“其他物体”的位置是否随时间变化，以及怎样变化。这种用来做参考的物体称为“参考系”(參照物)。

从理论上来说，参考系的选择是任意的，而如何选择参考系会影响物体的运动状态。。但是，实际在研究地球上的物体的运动的时候，往往以地面为参考系，因为这通常最方便。不过，在解决某些问题时，我们也可以变换参考系，使解决问题更加容易。

位置和运动的定量描述：坐标系、位置与位移

我们现在终于明白了如何判断物体是否在运动，可是，这只是定性的描述，如果我们想知道物体具体运动了多远，速度有多快，那又改怎么办呢？考虑数学中建立坐标系以描述点的位置的方法，我们想到物理学里也可以这样做。坐标系可以是一维（直线）、二维（平面）或三维（立体）的。一旦坐标系也建立好了，物体的位置就真正唯一确定了。当然了，坐标系的选择也会影响物体的运动状态。

在本章里，我们主要讨论直线运动，因此建立的坐标系也都是一维的，这可以减少接触“矢量”这一概念造成的麻烦。

物体在坐标系里的坐标就是它的位置，一般用符号x表示，在一维坐标系里，位置可以用一个实数表示，也可以用从原点（参考系）到物体的有向线段表示。比方说，以某物体为参考系，西侧为正方向，沿东西方向建立平面直角坐标系。则在坐标系东侧3m处的物体位置为-3m，西侧5m处的物体位置为（+）5m。

物理量
名称：	位置
符号：	${\boldsymbol {x}}$
类型：	矢量
定义：	-
定义式：	-
国际单位：	米
国际单位符号:	m
其他常见单位：	$km$ （千米）、 $cm$ （厘米）、 $dm$ （分米）、 $mm$ （毫米）
换算关系：	$1m=10^{-3}km=10dm=10^{2}cm=10^{3}mm$
其他:	-

没错，位置就是传说中的“矢量”：既有大小又有方向的方向的物理量，相对于“标量”，即只有大小没有方向的物理量，不过可能觉得费解，位置有什么“大小”、“方向”呢？

那么我们先来说说“位移”吧。“位移”，顾名思义，位置的移动，物理学中的位移也就是这么定义的。

物理量
名称：	位移
符号：	$\Delta {\boldsymbol {x}}$
类型：	矢量
定义：	把物体位置的变化叫做“位移”
定义式：	$\Delta {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x_{2}}}-{\boldsymbol {x_{1}}}$
国际单位：	米
国际单位符号:	m
其他常见单位：	$km$ （千米）、 $cm$ （厘米）、 $dm$ （分米）、 $mm$ （毫米）
换算关系：	$1m=10^{-3}km=10dm=10^{2}cm=10^{3}mm$
其他:	-

解释一下吧，接着拿刚才的那个一维坐标系说事。比方说，现在，小红(a)和小明(b)都在3m处，同在t时间之后，小明同学，在6m处，而可爱的小红，则在-5m处，敢问，此二人的位移各是多少？好，我们严格套一下公式。首先强调一下，不要被什么 ${\boldsymbol {x_{1}}}$ 、 ${\boldsymbol {x_{2}}}$ 弄晕了。求位移一定要用末位置减去初位置。

解：

$\Delta {\boldsymbol {x}}_{a}={\boldsymbol {x}}_{a2}-{\boldsymbol {x}}_{a1}=6m-3m=3m$

$\Delta {\boldsymbol {x}}_{b}={\boldsymbol {x}}_{b2}-{\boldsymbol {x}}_{b1}=-5m-3m=-8m$

不错，不过现在我想问你一个问题，谁的位移更大？

从常识角度来说，显然是小红，他走得比小明多呀！可是数学上看 $\Delta {\boldsymbol {x_{b}}}<0<\Delta {\boldsymbol {x_{a}}}$ 怎么回事呢？

答案也很简单：这里（一维坐标系里），负号仅仅表示位移的方向，它的大小应该由所对应的实数的绝对值确定。

现在，你应该能理解所谓“矢量是既有大小又有方向的物理量”了。

从数学上说，矢量本身不能比较大小，只能比较是否相等。因此，在比较矢量是否相等时，比较的是它们的大小和方向是否同时相等。也就是说，你往东走了五米，我往西走了五米，我们的位移不相等；但是，当比较矢量的大小时，实际上比较的是“矢量的大小”的大小（有点拗口）。

矢量 $\Delta {\boldsymbol {x}}$ 的大小，记作 $\left|\Delta {\boldsymbol {x}}\right|$ 正如数学里的绝对值一样，它是非负的。

所以，上面那个表达式应该改为 $0<\left|\Delta {\boldsymbol {x}}_{a}\right|<\left|\Delta {\boldsymbol {x}}_{b}\right|$

矢量上的箭头记号，物理学中往往可以省略。位移前的差量记号 $\Delta$ 往往也可以省略，甚至位移可能被记做h，l，s等。

在描述一个矢量时，严格来说，必须同时描述它的大小和方向。

另外，我们还可以用有向线段来表示矢量，如位移可以用由初位置到末位置的有向线段来表示，此时，有向线断的长度表示矢量的大小，方向表示矢量的方向，其起点与矢量无关。

现在，可以解释为什么位置也是矢量了：位置可以被理解为物体相对坐标系原点的位移。

那么，什么是位置矢量呢？以坐标系原点为起点向某一确定位置作有向线段，这条有向线段就是这个点的位置矢量（r），简称位矢。

既然都叫位置矢量了，所以它肯定是个矢量喽。

位置矢量和位移有什么关系呢？

位置矢量的变化量就是位移。

还有一个问题不得不说：位移绝对不是路程。一个最简单的例子可以说明它们的区别：你绕400米的操场跑了一圈，路程，为400米，位移：很不幸，根据定义： $\Delta {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x_{0}}}-{\boldsymbol {x_{0}}}={\boldsymbol {0}}$ 。

物理量
名称：	路程
符号：	$s$
类型：	标量
定义：	物体运动路径的长度叫做“路程”
定义式：	-
国际单位：	米
国际单位符号:	m
其他常见单位：	$km$ （千米）、 $cm$ （厘米）、 $dm$ （分米）、 $mm$ （毫米）
换算关系：	$1m=10^{-3}km=10dm=10^{2}cm=10^{3}mm$
其他:	-

对，路程是传统的“标量”，有大小，没方向，所以，请注意，物体的位移和路程不能相比较，因为他们的性质不同，一个是矢量，一个是标量。不过，位移的大小是可以与路程相比较的。考虑数学里“两点之间线段最短”的公理，我们可以得到：

定理：同一物体位移的大小，小于等于运动的路程，且当且仅当物体做单向直线运动时，等号成立。 $\left|\Delta {\boldsymbol {x}}\right|\leq s$

物体运动的快慢：速度与速率

讨论“速度”之前，先要说一说“时间”与“时刻”的差别。

简而言之，时刻，是时间轴上的一个点，譬如说8:00，而时间，即“时间的间隔”，则是时刻的差，是时间轴上的一段线，譬如说100分钟。

时间与时刻都是标量，时刻的记号是是 $t$ ，而时间的记号则是 $\Delta t$ 。

考试时经常会涉及一些时间和时刻的表示方法，如5s末（相当于时刻t=5s），4s初（相当于时刻t=3s），3s内（相当于时间0-3s），第5s内（相当于时间4s-5s），也就这些了。

好，下面我们要说说速度，速度是干什么的呢？是用来衡量物体位置变化快慢的。

生活中，我们说，要比赛两个人谁跑的快，总得有个标准，要不然是两个人同样跑100m，比时间，要不然是两个人同时跑1分钟，比谁跑得远。要是时间、跑的距离都不一样，只怕速度也没法比了（当然，可以算速度吗，不过其实这个说法也不严谨）。因此，物理学中，我们把单位时间内物体所通过的位移叫做速度，这样时间一样了，谁跑得远，谁的速度就大。

物理量
名称：	速度
符号：	${\boldsymbol {v}}$
类型：	矢量
定义：	单位时间内物体通过的位移。（是衡量物体运动快慢的物理量）
定义式：	${\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}$
国际单位：	米/秒
国际单位符号:	m/s
其他常见单位：	km/h （千米/时）
换算关系：	$1$ m/s $=3.6$ km/h
其他:	-

好，就拿这个说事。速度，也是矢量，也有大小和方向，这个没问题。你往东跑往西跑显然结果不一样吗，要不然怎么有南辕北辙一说呢，不过这个定义要单说了，看看是谁去除以 $\Delta t$ ？对，是位移，so，如果今天你没交作业，老师罚你绕操场跑十圈，合着从物理学的角度讲，你的速度是 ${\boldsymbol {0}}$ ，因此，请记住，物体的速度与路程无关，即与运动路径无关，只与位移有关。 假如跑道在刚开始的一段是直的，那么，你可能会想到，在你刚刚跑完 ${\frac {1}{8}}$ 圈的时候，你的速度还是正的，故此，可以看出，当物体的速度不断变化时，公式 ${\boldsymbol {v}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {x}}}{\Delta t}}$ 求得的速度并不能准确反映物体的运动状况，这时，我们把这个速度叫做平均速度。，而物体在某一时刻的速度，就叫做瞬时速度。速率和速度，一字之差，意义是有所不同的。瞬时速率指的是物体瞬时速度的大小，因此，它是个标量。不过平均速率可不是平均速度的大小，要不然，你这十圈岂不是真的白跑了？平均速率正是我们日常生活中所说的“速度”，它等于物体所走过的路程与物体运动时间的比值，它也是一个标量。

最简单形式的运动：匀速直线运动

我们已经说过，如果一个物体的速度始终不变，那么，显然的，这个速度就足以精确的描绘物体的运动状态，此时，我们就可以说，物体在做匀速直线运动。不过定义用的完全不是这个思路，至于为什么呢，我也说不清。

匀速直线运动：物体在一条直线上运动，且在任意相等的时间间隔内的通过的位移相等，这种运动称为“匀速直线运动”。

务必要注意，这必须是在任意相等时间内通过的位移都相等。至于换成什么任意1s、2s内位移相等，统统是错的。还有一件事情不得不提，敢问，“匀速圆周运动”是“匀速运动”么？哦，匀速圆周运动还没讲，不要紧，可以简单理解成某个物体匀速转圈，那么，是吗？答案是否定的！注意！“匀速运动”是“匀速直线运动”的简称，只有直线运动才可能是此类运动。至于曲线运动，其速度方向不断变化，速度根本不可能时刻相等。

以下是匀速直线运动的公式，应当是足够简单的。

${\boldsymbol {x}}(t)={\boldsymbol {x}}(0)+{\boldsymbol {v}}t$

不过有一件事情要说明一下，实际物理题中很少打矢量符号，为什么呢，如果按照矢量的写法 ${t}={\frac {\boldsymbol {x}}{\Delta {\boldsymbol {v}}}}$ 这个写法是有问题的，因为矢量不能相除，应该写做 ${t}={\frac {\left|{\boldsymbol {x}}\right|}{\left|\Delta {\boldsymbol {v}}\right|}}$ ，然而实际上，这样只会造成不必要的麻烦，因为尽管以后会接触到方向不共线的物理量，但他们最后会被正交分解（以后再解释）。

速度变化的快慢：加速度

好，既然仅用物体的“速度”只能精确描述物体的匀速直线运动的，那么，如果物体的速度不断变化，我们就无法描述其运动了吗？当然不是。至少，如果我们引入“加速度”这个物理量，那么还是可以精确描述速度均匀变化的物体的运动的。

物理量
名称：	加速度
符号：	${\boldsymbol {a}}$
类型：	矢量
定义：	加速度是物体速度的变化量与发生这一变化的时间的比值。（意义：是衡量物体速度变化快慢的物理量）
定义式：	${\boldsymbol {a}}\equiv {\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}$
国际单位：	米/秒 $^{2}$
国际单位符号:	m/s $^{2}$
其他常见单位：	-
换算关系：	-
其他:	-

物体运动状态的图像表示：x-t与v-t图像

x-t（有时也写作s-t）图像的纵坐标是位移，横坐标是时间。其中，纵坐标表示的是物体在该时刻到原点的位移，也就是位置。某一点的切线斜率表示该点的速度，曲线与坐标轴围成的图形面积无特别意义。物体运动反向的标志是曲线斜率正负发生变化。

v-t图像的纵坐标是物体的瞬时速度，横坐标是时间。其中，某一点的切线斜率表示该点的加速度，曲线与坐标轴围成的图形面积（区分正负）表示物体经过的位移。物体运动反向的标志是速度本身的正负发生变化，斜率变号仅仅表示物体的加速度方向，或者说，速度变化的趋势，发生了变化，而绝不表示物体运动反向。

最后还要特别强调的是，别看那些的曲线很像你走的蜿蜒的小路，它们都不表示物体走过的路径。

匀变速直线运动

匀变速直线运动：物体在一条直线上运动，且加速度不依赖于时间，这种运动称为“匀变速直线运动”。

加速度恒定意味着速度（随时间）的改变是均匀的，所以叫做“匀变速运动”。如果运动轨迹限制在一条直线上，称为直线运动，同时满足这两个条件就是“匀变速直线运动“了。加速度与初速度方向相同，可称为匀加速直线运动；加速度与初速度方向相反，可称为匀减速直线运动；但若物体运动途中速度改变方向，这两种就都不算了。

对于匀变速运动，由定义 ${\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}$ ，且 ${\boldsymbol {a}}$ 不依赖于时间，所以

${\boldsymbol {v}}(t)={\boldsymbol {v}}(0)+{\boldsymbol {a}}{t}$

类似的，对上式再作一次积分，得

${\boldsymbol {x}}(t)={\boldsymbol {x}}(0)+{\boldsymbol {v}}(0)t+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2}$

在匀变速直线运动中，位移也可以用速度-时间图像讨论。速度与时刻呈一次函数关系，因此，匀变速直线运动的v-t图像是一条不与x轴平行的直线。

因此，它与坐标轴围成的图像是一个梯形，梯形的面积也就是匀速直线运动的的位移。

$\Delta {\boldsymbol {x_{t}}}={\frac {({\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {v_{t}}})\Delta t}{2}}={\boldsymbol {v_{0}}}t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}$

又因为 $t={\frac {v_{t}-v_{0}}{a}}$

故还有 $\Delta x={\frac {v_{t}^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}$ （后面两个公式是非矢量形式的表达）

由此，我们也就可以看出，只要 $v_{0}$ 、 $v_{t}$ 、 $a$ 、 $t$ 、这四个物理量中知道了3个，就可以求出t时刻的位移了。

考虑匀变速直线运动的平均速度，则有 ${\bar {v}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {x_{t}}}}{t}}={\frac {{\boldsymbol {v_{0}}}t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}}{t}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\frac {1}{2}}a\Delta t={\boldsymbol {v_{\frac {t}{2}}}}$ ，这说明什么呀？匀变速直线运动的平均速度等于其中间时刻的速度，很有意思，这可以与梯形面积等于中位线乘高相类比。

力

力的概念

什么是力？这个问题不好解释清楚，不过有一个可以死记一下的定义：

力：力是物体间的相互作用。

力是物体间的相互作用，因此，力不能离开物体而独立存在。一个力涉及到施力物体和受力物体，其中施力物体是主动给予力的物体，而受力物体则是被动接受力的物体。不过，根据牛顿第三定律，施力物体同时也反作用于受力物体，而且做用力的大小相等方向相反（不再多说了，以后会再说到），因而受力物体同时也是施力物体，反之亦然。

力对物体有两种作用效果，一是使物体发生形变，如压缩弹簧；二是改变物体的运动状态，比方说球停在地上，你踢它一脚，它就飞了。

力有三个要素：大小、方向、作用点。其中任何一个要素的改变，对力的作用结果都有影响。其中前两个好理解，第三个可以举一个例子：比方说，靠近门轴的地方推门费劲大，远离门轴的地方推门费力小。

几种常见的力

万有引力

任何两个物体之间都存在相互吸引作用。物体之间的这种吸引作用普遍存在于宇宙万物之间，称为万有引力。其公式为：

${\overrightarrow {F}}=G{Mm \over r^{3}}{\overrightarrow {r}}$

重力

重力：地球对物体引力的一个分力称为重力。

苹果树上的苹果为什么回落下来呢？因为重力。为什么你跳得再高还得回到地面上呢？还是因为重力。地面上的一切物体都受到重力，重力的方向竖直向下（事实上竖直向下由当地重力方向定义），即使将地球视作正球体，严格来说，重力也并不指向地心（你可能要问究竟为什么，实际上这是由于地球自转，万有引力有一部分用来产生向心加速度了，这个稍后会解释）。地面上同一点处物体受到重力G的大小跟物体的质量m成正比，用关系式G=mg表示。不同地点受到的重力不同，因为各个地点的重力加速度不同。

弹性力

弹性物体因外力产生弹性形变后的恢复力。
实验表明在弹性范围内弹力的大小遵循胡克定律 ${\vec {f}}=-k\Delta {\vec {r}}$ .

摩擦力

两个互相接触的物体，当它们发生相对运动或有相对运动趋势时，就会在接触面上产生一种阻碍相对运动的力，这种力就叫做摩擦力。摩擦力在本质上是由电磁力引起的。条件： 1.两物体相互接触. 2.两物体相互挤压，发生形变，有弹力. 3.两物体发生相对运动或相对趋势. 4.两接触面不光滑. 四个条件缺一不可。摩擦力分为：

静摩擦力（压力越大，接触面越粗糙，静摩擦力越大）
滑动摩擦力
滚动摩擦力

多维的矢量

一維：似弦運動的直線二維：由二數數據組成，在平面體一點三維：通常以x,y,z表達，以上提及四維：同一時間界面以不同時間發生，形成光錐。

曲线运动

运动轨迹为曲线的运动。

抛体运动

抛体运动，概念：对物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所做的运动叫做抛体运动(projectile motion)，它的初速度Vo不为0。抛体运动又分为竖直上抛运动、竖直下抛运动、平抛运动和斜抛运动

圆周运动

在物理學中，圓周運動是在圓圈上轉圈：一個圓形路徑或軌跡。當考慮一件物體的圓周運動時，物體的體積大小會被忽略，並看成一點。這個點即被稱作質點

圓周運動的例子有：一個人造衛星跟隨其軌跡轉動、用繩子連接著一塊石頭並打圈揮動、一架賽車在賽道上轉彎、一粒電子垂直地進入一個均勻的磁場、一個齒輪在機器中的轉動（其表面和內部任一點）。

圓周運動以向心力提供運動物體所須的加速度。這向心力把運動物體拉向圓形軌跡的中心點。如果沒有向心力，那麼物體會跟隨牛頓第一定律慣性地進行直線運動。儘管物體速率不變，但物體作圓周運動時仍然是有被加速的，因為物體的速度向量是不停地改變方向。

机械振动与机械波

简谐振子

在理想弹簧的一端放上一个质点就构成一个简谐振子。下面我们对这个问题作一些分析。当弹簧处在其自然长度时，质点不受力，也就是说，如果质点在某一时刻 $t$ 处在此处，而且速度是0，那么它将一直静止在这里。下面我们考虑它偏离这个平衡位置的情形，显然，无论它向哪一侧偏离，弹簧的力都倾向于把它拉回平衡位置，并且它离平衡位置越远，这个回复力就越大，因此这个质点不能离开平衡位置太远，而每当它回到平衡位置时，由于惯性，它会继续沿着速度的方向运动，而不能立刻停下来，同时由于回复力的作用逐渐减速，直到速度为0，再向平衡位置加速靠近，直到再次通过平衡位置，如此往复运动。定量计算如下。

胡克定律： $f=-kx,$ ,