指數與對數

指数与对数

导言

指数函数与对数函数是基础数学的重要内容。指数函数记为 $f(x)=a^{x}$（$a>0,a\neq 1$），对数函数是其反函数，记为 $\log _{a}x$，满足 $\log _{a}(a^{x})=x$ 与 $a^{\log _{a}x}=x$。取底 $e$ 可得到自然指数 $e^{x}$ 与自然对数 $\ln x$。

指数函数曲线（$y=a^{x}$）

对数函数曲线（$y=\log _{a}x$）

换底公式示意

概念与公式	说明与例子
指数函数 $a^{x}$	底数 $a>0,a\neq 1$。当 $x$ 为整数、分数或实数时，通过幂运算一致性与连续性定义。例：$2^{5}=32$，$2^{-3}={\tfrac {1}{8}}$，$9^{1/2}=3$。
对数函数 $\log _{a}x$	对数是指数的反函数，定义域 $x>0$。满足 $a^{\log _{a}x}=x$。例：$\log _{10}1000=3$，$\ln(e^{\pi })=\pi$。
指数运算律	$a^{x}a^{y}=a^{x+y}$；${\tfrac {a^{x}}{a^{y}}}=a^{x-y}$；$(a^{x})^{y}=a^{xy}$；$a^{0}=1$；$a^{-x}={\tfrac {1}{a^{x}}}$。
对数运算律	$\log _{a}(xy)=\log _{a}x+\log _{a}y$；$\log _{a}\!{\big (}{\tfrac {x}{y}}{\big )}=\log _{a}x-\log _{a}y$；$\log _{a}(x^{r})=r\,\log _{a}x$。
换底公式	$\log _{a}x={\dfrac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}$（常选 $b=e$ 或 $b=10$）。例：$\log _{2}10={\dfrac {\ln 10}{\ln 2}}$。
自然底 $e$	$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$。$e^{x}$ 与 $\ln x$ 具有简洁的求导与积分性质。

微积分要点

• 求导：

 - ${\dfrac {d}{dx}}\,a^{x}=a^{x}\ln a$。
 - ${\dfrac {d}{dx}}\,e^{x}=e^{x}$。
 - ${\dfrac {d}{dx}}\,\ln x={\dfrac {1}{x}}$（$x>0$）。
 - ${\dfrac {d}{dx}}\,\log _{a}x={\dfrac {1}{x\ln a}}$。

• 积分：

 - $\int a^{x}\,dx={\dfrac {a^{x}}{\ln a}}+C$。
 - $\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$。
 - $\int {\dfrac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C$。

• 展开：

 - $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}$。
 - $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\dfrac {x^{n}}{n}}$（$|x|<1$）。

方程与不等式

• 指数方程 $a^{f(x)}=b$ 化为 $f(x)=\log _{a}b$。
• 对数方程 $\log _{a}f(x)=c$ 等价于 $f(x)=a^{c}$。
• 单调性：当 $a>1$ 时，$a^{x}$ 与 $\log _{a}x$ 为增函数；当 $0<a<1$ 时，二者为减函数。

应用

• 指数增长与衰减：$y(t)=C\,e^{kt}$。当 $k>0$ 增长，当 $k<0$ 衰减。半衰期 $T_{1/2}={\dfrac {\ln 2}{|k|}}$。
• 对数标度：分贝、pH、地震震级、对数坐标等；利用 $\ln(xy)=\ln x+\ln y$ 将乘法结构线性化。
• 数据拟合：若 $y=Ce^{kx}$，取对数得 $\ln y=\ln C+kx$，可线性回归估计参数。
• 信息量：$H=-\sum p_{i}\log _{2}p_{i}$；底数改变对应比例因子变化。

例题

1. 计算 $\log _{2}32$。因 $32=2^{5}$，故 $\log _{2}32=5$。
2. 求解 $3^{x}=81$。因 $81=3^{4}$，故 $x=4$。
3. 化简 $\log _{a}(x^{3}{\sqrt {x}})$（$x>0$）。$\log _{a}(x^{3}\cdot x^{1/2})=\log _{a}(x^{7/2})={\dfrac {7}{2}}\log _{a}x$。
4. 比较 $\ln 2$ 与 $\log _{10}2$。由换底 $\log _{10}2={\dfrac {\ln 2}{\ln 10}}$，近似 $\log _{10}2\approx 0.3010$。

学习提示

• 取对数前确认自变量为正。
• 运算中优先使用指数与对数的运算律。
• 数值计算可在对数域进行以减少误差。
• 注意：$\log _{a}(x+y)\neq \log _{a}x+\log _{a}y$；$\ln(x^{2})=2\ln |x|$。

拓展

• 连续复利：$F=P\,e^{rt}$。
• 微分方程：$y'=ky$ 的通解为 $y=Ce^{kt}$。
• 级数逼近用于误差分析与数值计算。
• 对数的历史可追溯至纳皮尔与布里格斯；$e$ 与自然对数由欧拉系统化。

练习

1. 计算：$\log _{3}{\tfrac {1}{27}}$；$\log _{5}125$；$\ln(e^{\pi })$。 2. 解方程：$2^{x}=7$；$\log _{4}(x-1)=2$；$\ln x+\ln(x-1)=\ln 6$（$x>1$）。 3. 化简与证明：$\log _{a}\!{\big (}{\tfrac {x^{2}y}{\sqrt {z}}}{\big )}$；证明 $\log _{b}a={\dfrac {1}{\log _{a}b}}$。 4. 应用：某物质半衰期为 10 天，$M(t)=M_{0}2^{-t/10}$。求 30 天后剩余比例与剩余 10% 时的 $t$。