数理统计/线性模型与方差分析

数理统计/线性模型与方差分析

学习目标

目标项	内容
线性模型框架	$Y=X\beta +\varepsilon$，最小二乘
推断	t检验、F检验与区间
方差分析	单因素/双因素 ANOVA

能力要点	说明
设计矩阵	构造虚拟变量与对比
方差分解	SST=SSR+SSE
模型诊断	基本残差检查

最小二乘与正态线性模型

OLS 解 ${\hat {\beta }}=(X^{\top }X)^{-1}X^{\top }Y$（列满秩）；若 $\varepsilon \sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}I)$，则推断基于 t/F。

量	公式	含义
残差	$e=Y-X{\hat {\beta }}$	观测-拟合
方差估计	${\hat {\sigma }}^{2}=\mathrm {SSE} /(n-p)$	$p$ 为参数数
置信区间	${\hat {\beta }}_{j}\pm t_{n-p,1-\alpha /2}\,\mathrm {SE} ({\hat {\beta }}_{j})$	分量区间

ANOVA

单因素模型 $Y_{ij}=\mu +\alpha _{i}+\varepsilon _{ij}$；F统计量基于组间均方与组内均方。

项	SS	df	MS	F
组间	SSR	$k-1$	MSB	${\text{MSB}}/{\text{MSW}}$
组内	SSE	$n-k$	MSW	—
总体	SST	$n-1$	—	—

线性对比与多重比较

对比 $c^{\top }\beta$ 的检验；多重比较用Bonferroni、Tukey等控制家族错误率。

主题	工具	备注
线性对比	t/F 检验	设计驱动
多重比较	Bonferroni、Tukey	校正阈值

章节测验

单选题

在线性模型 $Y=X\beta +\varepsilon$ 中，参数估计 ${\hat {\beta }}$ 的标准误依赖于：

1. 仅样本量
2. 仅设计矩阵
3. 设计矩阵与 ${\hat {\sigma }}^{2}$
4. 与二者均无关

显示答案/解析

答案：3。

判断题

单因素ANOVA的F统计量等于组间均方除以组内均方。

1. 对
2. 错

显示答案/解析

答案：对。

跨章导航

跳转	页面
上一节	非参数方法
下一节	回归诊断与模型选择
返回目录	目录