有理數

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引言

本页概述学习有理数的目标与路线，并说明本书的章节安排与练习使用方式。

学习目标

明确“有理数”的范围与意义，了解其在日常计量与数学中的角色。

你需要准备

熟悉整数和分数的基本术语（分子、分母、约分、通分等）。

本节习题

用自己的话描述“有理数”的直观含义，并举出三个生活中的例子（要求至少一个是负数）。

在数轴上，哪些点一定是有理数？哪些点不一定是有理数？简要说明理由。

判断对错：所有小数都是有理数。若错，请给出反例或更正描述。

有理数的定义与表示

关键概念

有理数是可以写成两个整数之比（分母不为零）的数。

正式定义

若存在整数 $p,q$ 且 $q\neq 0$ ，使得 $x={\frac {p}{q}}$ ，则称 $x$ 为有理数。

等值分数

若 $k\in \mathbb {Z} ,\ k\neq 0$ ，则 ${\frac {p}{q}}={\frac {kp}{kq}}$

最简分数

当 $\gcd(|p|,|q|)=1$ 且常规定义分母 $q>0$ 时，称 ${\frac {p}{q}}$ 为最简形式。

本节习题

将下列分数化为最简分数： ${\frac {18}{24}}$ ， ${\frac {-14}{-21}}$ ， ${\frac {35}{-49}}$ 。

说明为什么约分时不允许把分子与分母的和（或差）去约，而必须是公因数去约。

设 ${\frac {p}{q}}={\frac {10}{-35}}$ 且要求标准形式分母为正，写出等值且为最简的分数表示。

分数与小数的互化

分数转小数

计算分子 ÷ 分母，得到有限小数或无限循环小数。

终止的判定（最简分数 ${\frac {p}{q}}$ ）：仅当 $q$ 的素因数只有 $2$ 与 $5$ 时，小数表示才为有限小数。

小数转分数

利用位值与等式构造： $0.125={\frac {125}{1000}}={\frac {1}{8}}$ 循环小数例： $0.{\overline {3}}={\frac {1}{3}},\quad 0.{\overline {27}}={\frac {27}{99}}={\frac {3}{11}}$

本节习题

判断是否为有限小数并化为小数： ${\frac {7}{40}}$ ， ${\frac {9}{30}}$ 。

将 $0.{\overline {08}}$ 与 $1.2{\overline {34}}$ 化成分数（最简）。

证明：若 ${\frac {p}{q}}$ （最简）为有限小数，则 $q=2^{a}5^{b}$ （给出思路与关键步骤）。

数轴与大小比较

数轴定位

将区间单位分成 $q$ 份， ${\frac {p}{q}}$ 位于从 0 出发的第 $p$ 份（方向由正负决定）。

比大小

同分母比较分子；异分母通分或交叉相乘比较。

与 0 的距离

用绝对值 $|x|$ 表示到 0 的距离。

本节习题

在同一数轴上标出 $-{\frac {5}{6}}$ 、 ${\frac {2}{3}}$ 、 ${\frac {7}{6}}$ ，并从小到大排序。

比较大小： ${\frac {11}{15}}$ 与 ${\frac {7}{10}}$ ； $-1.2$ 与 $-{\frac {6}{5}}$ 。

已知 $|x|<{\frac {1}{5}}$ ，写出满足条件的三个不相同的有理数例子。

有理数的加减法

加法

同分母： ${\frac {a}{q}}+{\frac {b}{q}}={\frac {a+b}{q}}$ 异分母： ${\frac {a}{m}}+{\frac {b}{n}}={\frac {an+bm}{mn}}$

减法

定义为“加上相反数”： $x-y=x+(-y)$

符号与数轴

右移表示加正数，左移表示加负数（或做减法）。

本节习题

计算并化简： $-{\frac {7}{12}}+{\frac {5}{18}}$ 。

用数轴方法解释：为什么 $-2.5-(-1.4)=-1.1$ ？

设计一个“常见错误→订正”的简短示例，主题为异分母相加时错误地“分母相加”。

有理数的乘除法

乘法

分子相乘、分母相乘： ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$ 符号法则：同号得正，异号得负。

除法

乘以倒数： ${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}\quad (c\neq 0)$

约分策略

先约后乘可简化计算量。

本节习题

计算： $-{\frac {9}{10}}\times {\frac {15}{-18}}$ （给出约分过程）。

计算： ${\frac {7}{12}}\div \left(-{\frac {14}{9}}\right)$ 并化最简。

用面积模型解释 ${\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{5}}={\frac {2}{5}}$ 的原因（写出要点）。

乘方与绝对值

有理数乘方

对整数 $n\geq 0$ ： $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

偶次与奇次

偶次幂非负；奇次幂保留底数的符号。

绝对值

定义： ${\begin{cases}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{cases}}$

本节习题

计算： $\left(-{\frac {3}{4}}\right)^{2}$ ， $\left(-{\frac {3}{4}}\right)^{3}$ 。

解不等式： $|x-1.2|\leq {\frac {3}{10}}$ ，并在数轴上描述解集区间。

判断并说明理由： $\left({\frac {-2}{5}}\right)^{4}$ 与 $\left({\frac {2}{-5}}\right)^{4}$ 的值是否相等。

四则运算的顺序与运算律

运算顺序

先括号 → 次幂 → 乘除（自左向右）→ 加减（自左向右）。

运算律

交换律： $a+b=b+a,\quad ab=ba$ 结合律： $(a+b)+c=a+(b+c),\quad (ab)c=a(bc)$ 分配律： $a(b+c)=ab+ac$

本节习题

按顺序计算： $1-{\frac {3}{4}}\times \left(2-{\frac {5}{6}}\right)$ 。

利用分配律化简： ${\frac {5}{12}}x+{\frac {5}{18}}x$ 。

构造一个包含三层括号与分数的表达式，并给出你的计算顺序说明。

近似与取整

取近似与保留位数

按指定位数“四舍五入”。

误差界

若 $x$ 四舍五入到小数点后 $n$ 位得到 $x_{r}$ ，则 $|x-x_{r}|\leq {\frac {1}{2}}\cdot 10^{-n}$

本节习题

将 ${\frac {7}{9}}$ 取到小数点后 3 位，并给出其误差不超过多少。

一个数四舍五入到小数点后 2 位得到 3.14，写出原数可能的范围。

把 $0.{\overline {27}}$ 取到小数点后 4 位，写出近似值与误差界。

比例、分率与应用

比与率

用分数表达“比”的大小与单位含义。

百分数

$x\%$ 表示 ${\frac {x}{100}}$ 。

应用场景

部分—整体、按比例缩放、增长与折扣等。

本节习题

折扣问题：一件商品先打 $20\%$ 折扣后再打 $10\%$ ，等效于一次性打几折？

配比问题：A 与 B 的质量比为 3:5，若总质量 32kg，求 A、B 各多少 kg。

税率问题：单价 120 的商品加收 $8\%$ 税，合计应付多少？若再享受 $5\%$ 折扣，最终价格多少？

混合运算与常见错误

混合运算

同时含分数、小数与整数时，严格遵守运算顺序与括号优先。

常见错误

分母直接相加是错误的。

忽略负号或错误处理减法。

纠错视图

以“错因—订正”的对照方式展示。

本节习题

计算： $1-{\frac {2}{3}}+{\frac {5}{12}}-{\frac {3}{4}}$ （给出通分思路）。

指出并改正错误： ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}={\frac {2}{7}}$ 。

设计一个包含“先乘方、后乘除、再加减”的表达式，并写出你可能犯的一个错误与规避方法。

综合练习

作答要求

不使用计算器（除非特别说明），写出必要步骤。

题目

化简并计算： ${\frac {3}{5}}-\left({\frac {2}{15}}+{\frac {7}{10}}\right)$ 。

设 $x={\frac {2}{3}}$ ，计算 $\left(1-{\frac {3}{2}}x\right)\div \left({\frac {1}{2}}x\right)$ 。

将 $0.{\overline {142}}$ 化为分数（最简），并判断它是否为有限小数。

比较大小并说明理由： ${\frac {17}{24}}$ 与 ${\frac {5}{7}}$ 。

应用题：一种饮料按体积比“果汁:水=3:7”调配，若需要 2.5 升饮料，果汁与水各需要多少升？