流体力学/坐標系與張量記號速覽

坐标系概览与场量类型

本节快速梳理流体力学中常用的坐标系与场量类型（标量、向量、张量），并给出基本算子在不同坐标系下的表达，便于后续推导与应用。

• 标量场示例：压力场$p(\mathbf {x} ,t)$、温度场$T(\mathbf {x} ,t)$。
• 向量场示例：速度场$\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},u_{3})$。
• 二阶张量示例：应力张量${\boldsymbol {\sigma }}=[\sigma _{ij}]$、速率应变张量$\mathbf {S} =[S_{ij}]$。

常用坐标系：

• 直角坐标系（笛卡尔）：$(x,y,z)$，基向量$\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}$。
• 圆柱坐标系：$(r,\theta ,z)$，基向量$\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{z}$。
• 球坐标系：$(r,\theta ,\phi )$（径向、极角、方位角），基向量$\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\phi }$。

基本算子（概念）：

• 梯度：$\nabla f$
• 散度：$\nabla \cdot \mathbf {a}$
• 旋度：$\nabla \times \mathbf {a}$
• 拉普拉斯算子：$\nabla ^{2}f=\nabla \cdot (\nabla f)$

直角坐标系的分量表达：

• 梯度：$\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)$
• 散度：$\nabla \cdot \mathbf {a} ={\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}$
• 旋度：$\nabla \times \mathbf {a} =\left({\frac {\partial a_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial a_{y}}{\partial z}},\ {\frac {\partial a_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial a_{z}}{\partial x}},\ {\frac {\partial a_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial a_{x}}{\partial y}}\right)$
• 拉普拉斯：$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

圆柱坐标系的分量表达：

• 梯度：$\nabla f=\mathbf {e} _{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}$
• 散度：$\nabla \cdot \mathbf {a} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(ra_{r})+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial a_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}$
• 拉普拉斯（标量）：$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

球坐标系的分量表达：

• 梯度：$\nabla f=\mathbf {e} _{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\mathbf {e} _{\phi }{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}$
• 散度：$\nabla \cdot \mathbf {a} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}a_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,a_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial a_{\phi }}{\partial \phi }}$
• 拉普拉斯（标量）：$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}$

张量记号与索引约定

为统一表达并简化推导，本节提供常用张量与索引记号。

• 爱因斯坦求和约定：重复下标自动求和，如$a_{i}b_{i}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}b_{i}$。
• 克罗内克 δ：$\delta _{ij}$，当$i=j$为$1$，否则为$0$。
• Levi–Civita符号：$\varepsilon _{ijk}$，用于表达叉乘与旋度。
• 速度梯度张量：分量$\partial u_{i}/\partial x_{j}$。
• 对称/反对称分解：$\nabla \mathbf {u} =\mathbf {S} +\mathbf {\Omega }$，其中

 $S_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$，
 $\Omega _{ij}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$。

坐标变换与方程不变性

坐标变换关系与方程的几何不变性是建立通用推导的关键。

• 直角到圆柱：$x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta ,\ z=z$；速度分量从$(u_{x},u_{y},u_{z})$到$(u_{r},u_{\theta },u_{z})$。
• 直角到球：$x=r\sin \theta \cos \phi ,\ y=r\sin \theta \sin \phi ,\ z=r\cos \theta$；速度分量从$(u_{x},u_{y},u_{z})$到$(u_{r},u_{\theta },u_{\phi })$。
• 方程不变性：纳维–斯托克斯的物理意义与坐标选择无关，分量表达随度量与基向量调整。不可压形式

 $\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho \mathbf {f}$
 可在任意正交坐标中展开。

小结：先以笛卡尔坐标熟悉算子与张量记号，再根据问题几何选择圆柱或球坐标；用索引约定统一推导路径，提升表达与计算的一致性。