应力与构成关系（牛顿流体与非牛顿）

本页属于《流体力学》一书的内容页面，题名为“应力与构成关系（牛顿流体与非牛顿）”。本页介绍流体中的应力分解、牛顿流体的本构（构成）关系，以及常见的非牛顿流体模型，为后续推导纳维–斯托克斯方程及高阶流变模型奠定基础。

1. 流体中的应力张量

在连续介质力学中，任意一点的应力可由一个二阶张量表示，通常记作 ${\boldsymbol {\sigma }}$ 。若在该点取一个具有单位法向量 ${\boldsymbol {n}}$ 的微小面积，作用在该面积上的应力向量（牵引） ${\boldsymbol {t}}$ 为 ${\boldsymbol {t}}={\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {n}}$ 。

在笛卡尔坐标系中， ${\boldsymbol {\sigma }}$ 可写作矩阵形式： ${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}.$

对于各向同性的连续介质，在没有体偶力且满足角动量守恒的条件下，应力张量为对称张量，即 $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}$ 。

2. 应力的分解：压力与粘性应力

在流体中，通常将总应力分解为各向同性的静压力部分与偏应力（粘性应力）部分： ${\boldsymbol {\sigma }}=-p\,{\boldsymbol {I}}+{\boldsymbol {\tau }},$ 其中

$p$ 为热力学压力（或平均正应力）；
${\boldsymbol {I}}$ 为单位张量；
${\boldsymbol {\tau }}$ 为偏离各向同性的粘性应力张量，又称剪应力张量或偏应力张量。

在不可压缩流体中， $p$ 常作为独立未知量通过连续性方程与动量方程共同求解；而 ${\boldsymbol {\tau }}$ 则由流体的构成关系给出，即“应力如何随形变和其变化率而变化”的经验或理论公式。

3. 速度梯度与形变率张量

设流体速度场为 ${\boldsymbol {v}}=(u,v,w)$ ，则速度梯度张量定义为 $\nabla {\boldsymbol {v}}={\begin{bmatrix}\partial u/\partial x&\partial u/\partial y&\partial u/\partial z\\\partial v/\partial x&\partial v/\partial y&\partial v/\partial z\\\partial w/\partial x&\partial w/\partial y&\partial w/\partial z\end{bmatrix}}.$

将速度梯度分解为对称部分与反对称部分：

对称部分（形变率张量） ${\boldsymbol {D}}$ ：

  ${\boldsymbol {D}}={\frac {1}{2}}\left(\nabla {\boldsymbol {v}}+(\nabla {\boldsymbol {v}})^{\mathrm {T} }\right),$ 
 描述的是微团块的拉伸与剪切形变速率。

反对称部分（自旋张量） ${\boldsymbol {W}}$ ：

  ${\boldsymbol {W}}={\frac {1}{2}}\left(\nabla {\boldsymbol {v}}-(\nabla {\boldsymbol {v}})^{\mathrm {T} }\right),$ 
 对应局部刚体旋转。

在大多数经典流体力学问题中，粘性应力只与 ${\boldsymbol {D}}$ 有关，与纯刚体旋转无关；这是牛顿流体假设的一个重要出发点。

4. 牛顿流体的本构关系

4.1 牛顿流体假设

牛顿流体（Newtonian fluid）指的是满足以下假设的流体：

各向同性：材料性质与方向无关；
粘性应力仅取决于局部形变率张量 ${\boldsymbol {D}}$ ，与其历史无关；
粘性应力与形变率之间为线性关系。

在这些假设下，粘性应力张量可写为： ${\boldsymbol {\tau }}=2\mu \,{\boldsymbol {D}}+\lambda \,(\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})\,{\boldsymbol {I}},$ 其中

$\mu$ 为剪切粘度（动态粘度）；
$\lambda$ 为体积粘度系数；
$\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}$ 为速度散度。

对不可压缩流体（ $\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0$ ），上式简化为 ${\boldsymbol {\tau }}=2\mu \,{\boldsymbol {D}}.$

将其写成分量形式（以笛卡尔坐标为例）为： $\tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\quad (i,j=1,2,3).$

4.2 经典例子：平板间剪切流

考虑两块无限大平板，中间充满牛顿流体。下平板静止，上平板以速度 $U$ 沿 $x$ 方向匀速运动。设间距为 $h$ ，稳态、不可压缩、无压差驱动。此时速度分布为线性： $u(y)={\frac {U}{h}}y,\quad v=w=0.$

相应的非零形变率分量为： $D_{xy}=D_{yx}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {1}{2}}{\frac {U}{h}}.$

牛顿流体本构关系给出剪应力： $\tau _{xy}=\tau _{yx}=2\mu D_{xy}=\mu {\frac {U}{h}}.$

这就是通常实验中测量粘度的基础：在已知剪切速率 ${\dot {\gamma }}={\frac {U}{h}}$ 下，测量剪应力 $\tau$ ，即可得到 $\mu ={\frac {\tau }{\dot {\gamma }}}$ 。

5. 非牛顿流体概述

许多实际流体（如高分子溶液、油墨、泥浆、血液等）不能用简单的线性关系描述，它们被统称为非牛顿流体（Non-Newtonian fluids）。与牛顿流体相比，非牛顿流体具有以下典型特征之一或更多：

粘度依赖于剪切速率（剪切变稀、剪切增稠）；
存在屈服应力（低于一定应力时类似固体，高于时开始流动）；
应力与形变率存在明显的时间滞后，呈现粘弹性行为；
出现法向应力差，导致如“罗德爬升效应”等现象。

下面简要介绍几类常见的非牛顿模型。

6. 常见非牛顿流体模型

6.1 广义牛顿流体

广义牛顿（generalized Newtonian）流体保持 ${\boldsymbol {\tau }}$ 与 ${\boldsymbol {D}}$ 的瞬时关系，但系数为形变率的非线性函数。最简单的形式是将剪切粘度视为剪切速率的函数： ${\boldsymbol {\tau }}=2\mu ({\dot {\gamma }})\,{\boldsymbol {D}},$ 其中 ${\dot {\gamma }}$ 为某种剪切速率的标量度量，例如 ${\dot {\gamma }}={\sqrt {2\,{\boldsymbol {D}}:{\boldsymbol {D}}}},$ “ $:$ ”表示双重内积。

常见经验模型包括：

幂律流体（power-law fluid）

幂律流体是广义牛顿流体的一种常见经验模型，其剪切应力与剪切速率满足关系： $\tau =K,{\dot {\gamma }}^{n},$ 其中 $K$ 为稠度系数， $n$ 为流动指数。根据 $n$ 的取值，流体表现为：

$n<1$ ：剪切变稀（如某些高分子溶液）； $n=1$ ：退化为牛顿流体； $n>1$ ：剪切增稠（如某些浓悬浮液）。

6.2 屈服应力型流体

某些流体（如牙膏、泥浆）在低应力下表现为似固体，只有当剪应力超过某一临界值时才发生流动。典型模型为宾汉（Bingham）塑性流体： $\tau ={\begin{cases}0,&{\text{若 }}|\tau |\leq \tau _{y},\\\tau _{y}+\mu _{p}\,{\dot {\gamma }},&{\text{若 }}|\tau |>\tau _{y},\end{cases}}$ 其中

$\tau _{y}$ 为屈服应力；
$\mu _{p}$ 为塑性粘度。

此类模型常在工程流动（浆体输送、泥石流等）中出现。

6.3 粘弹性流体（简介）

粘弹性流体同时具有粘性与弹性特征：在短时间加载时表现为弹性，在长时间或高应变下表现为粘流。完整的粘弹性本构方程通常为张量形式、涉及应力的时间导数和流动历史，这里仅给出一个典型的线性例子——麦克斯韦（Maxwell）模型的一维形式： $\lambda {\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}+\tau =\mu \,{\dot {\gamma }},$ 其中

$\lambda$ 为松弛时间；
$\mu$ 为粘度。

更完整的粘弹性模型（如 Oldroyd-B 模型）将在更高阶的流变学章节中介绍。

7. 牛顿与非牛顿流体的对比总结

为便于学习，可将牛顿流体与典型非牛顿流体的主要差异概括如下：

本构关系形式
- 牛顿： ${\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {D}}$ ， $\mu$ 为常数；
- 非牛顿： $\mu$ 为 ${\dot {\gamma }}$ 的函数，甚至应力含时间导数。
粘度随剪切速率变化
- 牛顿：与剪切速率无关；
- 非牛顿：可能剪切变稀或增稠。
时间效应
- 牛顿：无记忆效应，当下应力只取决于当下形变率；
- 粘弹性非牛顿：应力与流动历史有关。
数学处理难度
- 牛顿：得到经典的纳维–斯托克斯方程，研究较成熟；
- 非牛顿：本构关系复杂，往往需要数值方法与实验共同研究。

8. 小结与后续内容

本页从应力张量的基本概念出发，介绍了：

总应力分解为压力与粘性应力；
速度梯度与形变率张量 ${\boldsymbol {D}}$ 的定义；
牛顿流体的线性本构关系及典型剪切流例子；
几类常见非牛顿流体及其经验模型。

在后续章节中，将在质量守恒与动量守恒方程的基础上，引入本页所述的本构关系，推导适用于牛顿流体的纳维–斯托克斯方程，并简要讨论如何将上述非牛顿模型代入，以处理更复杂的流动问题。