经典力学/势能与保守力

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势能与保守力

• 保守力判据：任意闭合回路功为零 $\oint \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =0$，或存在标量势 $U(\mathbf {r} )$ 使 $\mathbf {F} =-\nabla U$。

• 势能定义：从参考点到位置 $\mathbf {r}$ 的保守力负功 $U(\mathbf {r} )=-\int _{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$（与路径无关）。

• 常见势

1. 重力近地面：$U_{g}=mgh$
2. 万有引力：$U(r)=-{\dfrac {GMm}{r}}$
3. 弹簧势能：$U_{s}={\tfrac {1}{2}}kx^{2}$

• 平衡与稳定性：一维中 $U'(x_{0})=0$ 为平衡点；若 $U''(x_{0})>0$ 稳定，$U''(x_{0})<0$ 不稳定。

• 机械能守恒（仅保守力）：$E=K+U={\text{const}}$；若含非保守力 $W_{\text{非保守}}=\Delta E$。

• 保守场的旋度：$\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0}$（单连通区域内等价于保守）。