经典力学/广义坐标与约束分类

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广义坐标与约束分类

• 自由度与广义坐标：对$N$质点，笛卡尔坐标自由度为$3N$；约束独立方程数为$s$，则自由度$f=3N-s$。选取$f$个独立广义坐标$𝐪=(q_1,\dots ,q_f)$描述构形。

• 约束类型

1. 几何约束（定常/时间相关）：方程${\varphi }_{\alpha }(𝐫,t)=0$，若不显含时间为定常约束。
2. 完整与非完整：若约束可写为等式${\varphi }_{\alpha }(𝐫,t)=0$（可积分到构形空间子流形）为完整；若为不可积微分形式如$\sum a_i(𝐫,t)d{r}_i=0$为非完整。
3. 纯滚动约束：为典型非完整约束，约束在速度层面。

• 速度与加速度的映射：$\dot{𝐫}=𝐉(𝐪,t)\dot{𝐪}$，其中$𝐉$为雅可比；加速度$\ddot{𝐫}=𝐉\ddot{𝐪}+\dot{𝐉}\dot{𝐪}$。

• 广义速度与广义力：广义速度$\dot{𝐪}$定义于切空间；广义力通过虚功$\delta W=\sum _i{𝐅}_i\cdot \delta {𝐫}_i=\sum _j{Q}_j\delta q_j$得到$Q_j$。

• 选择坐标的原则：独立、覆盖可达构形、避免奇异；利用对称性与约束直接消元，优先选择角度、长度等天然参数。

练习

1. 一刚体在平面内纯滚动，选取质心坐标$(x,y)$与姿态角$\theta$为广义坐标，写出速度约束并判定是否完整。
2. 两摆连结为双摆，写出广义坐标$({\theta }_1,{\theta }_2)$与末端位置${𝐫}_2({\theta }_1,{\theta }_2)$的表达式。