经典力学/欧拉方程与对称陀螺

本教程教授为经典力学中推导并应用欧拉方程（Euler equations）以分析对称陀螺的转动动力学的方法。

前置知识

• 刚体力学与转动惯量的概念（主轴、主惯量）
• 刚体角速度与欧拉角关系
• 能量与角动量的基本定义

欧拉方程的背景

欧拉方程刻画刚体绕质心转动的角动量变化规律，形式为对刚体本体坐标系（主轴）书写的动力学方程。对刚体在无外力矩的自由转动，欧拉方程可用于描述角速度分量的耦合演化，对应到对称陀螺（两个主惯量相等的刚体）时将显著简化，便于求解进动与章动特性。参见刚体动力学与陀螺仪以了解相关背景。

电脑端

明确主轴与主惯量

选取固定在刚体上的本体坐标系，使惯量张量在该系为对角形式。对称陀螺满足 $I_1=I_2\ne I_3$。其中 $I_1,I_2,I_3$ 为关于主轴的主惯量。

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  大型船用稳定陀螺的历史照片（工程应用背景）

写出欧拉方程

在主轴系中，刚体角速度分量记为 ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$，角动量分量为 $L_i=I_i{\omega }_i$。欧拉方程为 $\begin{array}{cc}{I}_1{\dot{\omega }}_1& =(I_2-I_3){\omega }_2{\omega }_3+{\tau }_1,\\ I_2{\dot{\omega }}_2& =(I_3-I_1){\omega }_3{\omega }_1+{\tau }_2,\\ I_3{\dot{\omega }}_3& =(I_1-I_2){\omega }_1{\omega }_2+{\tau }_3,\end{array}$ 其中 $𝝉=({\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_3)$ 是外力矩在主轴系的分量。无外力矩时 $𝝉=\mathrm{𝟎}$。

点击确认主惯量，即可得到欧拉方程的主轴形式。

对称陀螺的简化

对称陀螺条件 $I_1=I_2$ 代入欧拉方程，得到 $\begin{array}{cc}{I}_1{\dot{\omega }}_1& =(I_1-I_3){\omega }_2{\omega }_3+{\tau }_1,\\ I_1{\dot{\omega }}_2& =(I_3-I_1){\omega }_3{\omega }_1+{\tau }_2,\\ I_3{\dot{\omega }}_3& ={\tau }_3.\end{array}$ 在无外力矩情况下，${\omega }_3$ 为常量，${\omega }_1,{\omega }_2$ 构成耦合的简谐形式，体现陀螺围绕对称轴的稳定自旋与横向分量的进动行为。参见进动与章动以理解相关运动模式。

能量与角动量守恒

无外力矩时，刚体的动能 $T=\frac{1}{2}(I_1({\omega }_1^2+{\omega }_2^2)+I_3{\omega }_3^2)$ 与角动量 $𝐋=(I_1{\omega }_1,I_1{\omega }_2,I_3{\omega }_3)$ 在空间中守恒（方向与大小取决于初始条件）。这导致了经典的自由对称陀螺解：${\omega }_3=\text{常数}$，而 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 以固定频率围绕零做旋转，从而产生稳定的进动。

欧拉角描述

使用欧拉角 $\varphi ,\theta ,\psi$ 描述刚体姿态，陀螺的总角速度可写为欧拉角的线性组合。对于对称陀螺在重力场下的稳态进动，常见近似条件下可得到 $\dot{\varphi }\approx \frac{L_z}{I_1{\sin }^2\theta },\dot{\psi }\approx {\omega }_3$， 其中 $L_z$ 是关于空间固定竖直轴的角动量分量。更完整推导需结合拉格朗日形式与约束，参见拉格朗日力学。

稳定性与特征频率

对自由对称陀螺，线性化横向分量可得特征频率 $\mathrm{\Omega }=\left|\frac{I_3-I_1}{I_1}{\omega }_3\right|$， 表示横向扰动围绕对称轴的进动速度。若 $I_3>I_1$（长轴陀螺），则对称轴自旋对横向扰动稳定；若 $I_3<I_1$（扁平陀螺），则表现出不同的稳定性特征。相关实验与理论讨论可参考刚体稳定性。

在重力场中的对称陀螺（受力矩）

当支点固定且受重力作用时，关于支点的外力矩沿水平分量不为零，欧拉方程右端出现 $𝝉$。经典结果给出匀速进动条件与进动角速度与自旋的关系，稳态时常见 $\dot{\varphi }=\frac{Mga}{I_3{\omega }_3}$， 在小角度与能量守恒条件下成立，其中 $M$ 为质量，$g$ 为重力加速度，$a$ 为质心到支点的距离。这一结论与陀螺效应的宏观观察一致。

常见误区

• 将实验坐标系与本体坐标系混用，导致惯量与角速度分量错配
• 忽略 ${\omega }_3$ 常量性（无外力矩时），误判横向分量的时间演化
• 在受力矩问题中忘记区分关于质心与支点的惯量与力矩表达

参见

• 刚体动力学
• 陀螺仪
• 进动
• 拉格朗日力学
• 陀螺效应