经典力学/相对运动与速度合成

物理学 > 经典力学 > 相对运动与速度合成

经典力学/相对运动与速度合成

相对运动研究不同参考系中对同一运动的描述关系。在经典（非相对论）框架下，速度的合成与伽利略变换一致，核心公式简单直观。

参考系与相对位移

设有两个参考系$S$与$S'$，$S'$相对$S$做平移与可能的转动。若$S'$原点相对$S$的位置为$\mathbf {R} _{S'S}(t)$，且$S'$相对$S$的旋转由正交矩阵$\mathbf {Q} (t)$刻画，则

1. 同一点的坐标关系：$\mathbf {r} _{S}(t)=\mathbf {R} _{S'S}(t)+\mathbf {Q} (t)\,\mathbf {r} _{S'}(t)$。
2. 惯性系之间且无相对转动时，$\mathbf {Q} =\mathbf {I}$，关系简化为$\mathbf {r} _{S}=\mathbf {R} _{S'S}+\mathbf {r} _{S'}$。

速度合成（无相对转动的情形）

当两个惯性系$S$与$S'$作匀速相对运动，设$S'$相对$S$的速度为常量$\mathbf {V}$，则

1. 速度合成：$\mathbf {v} _{S}=\mathbf {V} +\mathbf {v} _{S'}$。
2. 加速度不变：$\mathbf {a} _{S}=\mathbf {a} _{S'}$。

该结果即伽利略速度合成律，适用于远小于光速的情形。

含相对转动的速度关系

若$S'$相对$S$有角速度${\boldsymbol {\Omega }}(t)$，则对同一物理点有更一般的速度关系 $\mathbf {v} _{S}=\mathbf {V} +\mathbf {Q} \,\mathbf {v} _{S'}+{\boldsymbol {\Omega }}\times (\mathbf {Q} \,\mathbf {r} _{S'})$。 其中$\mathbf {V} ={\dot {\mathbf {R} }}_{S'S}$，${\boldsymbol {\Omega }}$由${\dot {\mathbf {Q} }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\times }\,\mathbf {Q}$给出（${\boldsymbol {\Omega }}_{\times }$是用叉乘表示的反对称矩阵）。

加速度关系与惯性力提示

在有转动或非匀速平移时，加速度间的关系会出现附加项： $\mathbf {a} _{S}=\mathbf {A} +\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{S'}+2\,{\boldsymbol {\Omega }}\times (\mathbf {Q} \,\mathbf {v} _{S'})+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\big (}{\boldsymbol {\Omega }}\times (\mathbf {Q} \,\mathbf {r} _{S'}){\big )}+{\dot {\boldsymbol {\Omega }}}\times (\mathbf {Q} \,\mathbf {r} _{S'})$， 其中$\mathbf {A} ={\ddot {\mathbf {R} }}_{S'S}$。在$S'$中保持牛顿第二定律形式时，需要引入平动惯性力、科里奥利力、离心力与欧拉力。

常见情景与直觉

1. 跑步追公交: 地面对人的速度 $\mathbf {v} _{\text{地}}$ 等于公交相对地速度 $\mathbf {V} _{\text{车}}$ 加上人相对车厢速度 $\mathbf {v} _{\text{人/车}}$ . $\mathbf {v} _{\text{地}}=\mathbf {V} _{\text{车}}+\mathbf {v} _{\text{人/车}}$ .

2. 船渡河: 河岸系下船速度为 $\mathbf {v} _{\text{船/水}}+\mathbf {v} _{\text{水/岸}}$ . 若要正对岸, 需令 $\mathbf {v} _{\text{船/水}}$ 与水流速度的横向分量相互抵消.

3. 传送带与行走: 地面速度是传送带速度与行走速度的矢量和. 反向行走可抵消前进速度, 当合速度为零时, 在地面看来“原地不动”.

速度合成的极限与适用范围

1. 伽利略合成律适用于$\|\mathbf {v} \|\ll c$。靠近光速时必须使用相对论速度合成。
2. 在工程与日常尺度（交通、河流、风场）中，伽利略合成能给出足够准确的结果。

与轨迹微分的关系

若轨迹参数为$\mathbf {r} (t)$，不同参考系的速度差别由时间导数在各自坐标下的表达决定；在无转动的惯性系间，速度差是常量平移$\mathbf {V}$，因此加速度保持不变，动力学方程形式在各惯性系相同。