经典力学/虚功与拉格朗日乘子

物理学 > 经典力学 > 虚功与拉格朗日乘子

虚功与拉格朗日乘子

• 虚功原理：允许虚位移下的力学平衡满足$\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$；动力学中结合达朗贝尔原理得到广义方程。

• 乘子法处理约束：对完整约束$\phi _{\alpha }(\mathbf {q} ,t)=0$，定义扩展拉格朗日量${\mathcal {L}}=L+\sum _{\alpha }\lambda _{\alpha }\phi _{\alpha }$，并与${\dfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda _{\alpha }}}=\phi _{\alpha }=0$共同求解。

• 乘子的物理意义：$\lambda _{\alpha }$对应约束反力的广义分量；可用于求接触力、张力等。

• 非完整约束的乘子：当约束为不可积的速度约束$\sum a_{j}(\mathbf {q} ,t)\,{\dot {q}}_{j}=0$时，可引入乘子进入变分并给出修正的拉格朗日方程（需谨慎选择形式）。

• 高斯最小强制原理：给出在满足约束的加速度集合内，使偏离无约束加速度的二范数最小的真实加速度，常与乘子法等价。

练习

1. 在水平面滚动圆盘，约束$v_{C}=R{\dot {\theta }}$，用乘子法写出扩展${\mathcal {L}}$并求出约束反力的表达式（符号形式）。
2. 对双摆的末端固定高度约束，设$\phi (\theta _{1},\theta _{2})=0$，写出乘子方程并说明$\lambda$对应的物理量。