经典力学/逃逸速度与束缚条件

逃逸速度

逃逸速度常以符号$v_{\rm {e}}$表示，用于描述物体从天体表面出发且不再返回所需的最小初速度。典型推导基于能量守恒：初始机械能等于无穷远处的机械能。

基本推导

从能量观点出发，设质量为$m$的粒子在半径为$r$的中心引力场内运动，引力势能为$-\,{\dfrac {GMm}{r}}$。若要达到无穷远且速度趋于零，需满足：

• 初始动能 + 初始势能 = 0
• 即：${\tfrac {1}{2}}mv_{\rm {e}}^{2}-{\dfrac {GMm}{r}}=0$
• 由此得到：$v_{\rm {e}}={\sqrt {\dfrac {2GM}{r}}}$

束缚条件

当总机械能小于零时，轨道为束缚轨道（如椭圆）；当总机械能等于零时，为抛物线极限情况；当总机械能大于零时，为双曲线非束缚轨道。

• 束缚：$E=T+U<0$
• 临界：$E=0$
• 非束缚：$E>0$

与圆轨道速度的关系

圆轨道速度$v_{\rm {c}}$满足$v_{\rm {c}}={\sqrt {\dfrac {GM}{r}}}$。因此$v_{\rm {e}}={\sqrt {2}}\,v_{\rm {c}}$。该关系反映了从同一半径$r$起飞，逃逸需要比保持圆轨道更大的速度因子。

实例

• 地球表面近似取$r$为地球半径，代入得到的$v_{\rm {e}}$约等于$11.2\ {\text{km/s}}$。
• 月球表面逃逸速度更低，因其质量小、半径小。

注意事项

• 未计入大气阻力与天体自转等修正。
• 非球对称引力场或非惯性系下需作更精细处理。