经典力学/阻尼与受迫振动

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阻尼与受迫振动

• 阻尼自由振动：$m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0$。欠阻尼解 $x(t)=Ae^{-\zeta \omega _{0}t}\cos(\omega _{d}t+\phi )$，其中 $\omega _{0}={\sqrt {k/m}}$，$\zeta =c/(2{\sqrt {km}})$，$\omega _{d}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$。

• 受迫稳态：$m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F_{0}\cos \omega t$ 的稳态响应幅值 $X(\omega )={\dfrac {F_{0}}{\sqrt {(k-m\omega ^{2})^{2}+(c\omega )^{2}}}}$，相位差 $\tan \delta ={\dfrac {c\omega }{k-m\omega ^{2}}}$。

• 初始瞬态：总解为稳态解与齐次解相加；瞬态随 $e^{-\zeta \omega _{0}t}$ 衰减并最终仅剩稳态。

• 阻尼分类：$\zeta <1$ 欠阻尼，$\zeta =1$ 临界阻尼（最快无振荡回归），$\zeta >1$ 过阻尼（无振荡缓慢回归）。

• 能量耗散：功率损失平均为 $\langle P\rangle =c\langle {\dot {x}}^{2}\rangle$；稳态时驱动功率等于阻尼耗散。

练习

1. 给定$m,k,c$与$x(0)=x_{0},{\dot {x}}(0)=v_{0}$，写出欠阻尼自由响应的参数$A,\phi$。
2. 推导受迫稳态的幅频特性$X(\omega )$与相频特性$\delta (\omega )$的极限：$\omega \to 0$与$\omega \to \infty$。