訊號與系統/傅立葉轉換的定理

1. 臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 当前用字模式下显示为→方向导数
2. 臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 当前用字模式下显示为→积分形式
3. 臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 当前用字模式下显示为→微分形式
4. 臺灣：約束；大陆：约束； 当前用字模式下显示为→约束
5. 原始语言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 当前用字模式下显示为→博雷尔
6. 原始语言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 当前用字模式下显示为→克里斯托费尔
7. 原始语言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 当前用字模式下显示为→克利福德
8. 原始语言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 当前用字模式下显示为→埃拉托斯特尼
9. 原始语言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 当前用字模式下显示为→傅里叶
10. 原始语言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 当前用字模式下显示为→弗罗贝尼乌斯
11. 原始语言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 当前用字模式下显示为→豪斯多夫
12. 原始语言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 当前用字模式下显示为→列维-奇维塔
13. 原始语言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 当前用字模式下显示为→洛必达
14. 原始语言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 当前用字模式下显示为→马尔可夫
15. 原始语言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 当前用字模式下显示为→泊松
16. 原始语言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 当前用字模式下显示为→勒让德
17. 原始语言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 当前用字模式下显示为→施瓦兹
18. 原始语言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 当前用字模式下显示为→阿列夫
19. 原始语言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 当前用字模式下显示为→阿列夫数
20. 原始语言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 当前用字模式下显示为→代数相关
21. 原始语言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 当前用字模式下显示为→代数无关
22. 原始语言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 当前用字模式下显示为→代数闭域
23. 原始语言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 当前用字模式下显示为→自守形式
24. 原始语言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 当前用字模式下显示为→双射
25. 原始语言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 当前用字模式下显示为→丛
26. 原始语言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 当前用字模式下显示为→中心极限定理
27. 原始语言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 当前用字模式下显示为→典型群
28. 原始语言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 当前用字模式下显示为→闭图像定理
29. 原始语言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 当前用字模式下显示为→上同调
30. 原始语言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 当前用字模式下显示为→复平面
31. 原始语言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 当前用字模式下显示为→复指数
32. 原始语言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 当前用字模式下显示为→复结构
33. 原始语言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 当前用字模式下显示为→互素
34. 原始语言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 当前用字模式下显示为→协方差
35. 原始语言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 当前用字模式下显示为→分圆域
36. 原始语言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 当前用字模式下显示为→导出代数
37. 原始语言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 当前用字模式下显示为→导出函子
38. 原始语言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 当前用字模式下显示为→导集
39. 原始语言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 当前用字模式下显示为→控制收敛定理
40. 原始语言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 当前用字模式下显示为→本征函数
41. 原始语言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 当前用字模式下显示为→扩张域
42. 原始语言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 当前用字模式下显示为→斐波那契数列
43. 原始语言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 当前用字模式下显示为→域扩张
44. 原始语言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 当前用字模式下显示为→域论
45. 原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
46. 原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
47. 原始语言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 当前用字模式下显示为→整体域
48. 原始语言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 当前用字模式下显示为→线性相关
49. 原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
50. 原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
51. 原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
52. 原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
53. 原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
54. 原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
55. 原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
56. 原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
57. 原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
58. 原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
59. 原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
60. 原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
61. 原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
62. 原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
63. 原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
64. 原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
65. 原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
66. 原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
67. 原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
68. 原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
69. 原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
70. 原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
71. 原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
72. 原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
73. 原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
74. 原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
75. 原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
76. 原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
77. 原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
78. 原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
79. 原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
80. 原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
81. 原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
82. 原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
83. 原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
84. 原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
85. 原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
86. 原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
87. 原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
88. 原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
89. 原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
90. 原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
91. 原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
92. 原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
93. 原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

傅立葉轉換定理(1) —線性(linearity)

也稱作重疊定理(superposition) 已知： $\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)(\mathrm {X} _{\omega }(\omega ))$ $y(t)\leftrightarrow Y(f)(Y_{\omega }(\omega ))$

則對於任意實數或複數常數a，b

$a\chi (t)+by(t)\leftrightarrow a\mathrm {X} (f)+b\mathrm {X} (f)(a\mathrm {X} _{\omega }(\omega )+bY_{\omega }(\omega ))$

證明 $\Im a\chi (t)+by(t)=\int _{-\infty }^{\infty }[a\chi (t)+by(t)]e^{-j2\pi ft}\,dt$

=$a\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt+b\int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

=$a\mathrm {X} (f)+bY(f)$＃

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範例5.11

試求$\chi (t)=B\cos 2\pi f_{0}t$的傅立葉轉換。 解$\chi (t)=B\cos 2\pi f_{0}t={\frac {B}{2}}e^{j2\pi f_{0}t}+{\frac {B}{2}}e^{-j2\pi f_{0}t}$(尤拉公式)

依傅立葉轉換的線性定理知

                                      ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

$\Im \chi (t)=\Im {\frac {B}{2}}e^{j2\pi f_{0}t}+{\frac {B}{2}}e^{-j2\pi f_{0}t}$

=${\frac {B}{2}}\Im e^{j2\pi f_{0}t}+{\frac {B}{2}}\Im e^{-j2\pi f_{0}t}$

=${\frac {B}{2}}({\delta (f-f_{0})+\delta (f+f_{0})})$

=${\frac {B}{2}}({\delta ({\frac {\omega -\omega _{0}}{2\pi }})+\delta ({\frac {\omega +\omega _{0}}{2\pi }})})$

                                 由前面範例知
                                     $\Im {e^{j2\pi f_{0}t}}$
                                       =$\delta (f-f_{0})$
                                       $\omega =2\pi f$
                                       $\omega _{0}=2\pi f_{0}$

$\pi B{\delta (\omega -\omega _{0})+(\omega +\omega _{0})}$

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範例5.12

試求單位步階函數u(t)的傅立葉轉換。 【解】

                                 © Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

          (1)由上圖知：$u(t)={\frac {1}{2}}[1+\operatorname {sgn}(t)]$
            (2)已知$\operatorname {sgn}(t)\leftrightarrow {\frac {1}{j\pi f}}(={\frac {2}{j\omega }})$

(3)故$\Im {u(t)}={\frac {1}{2}}[\Im {1}+\Im {\operatorname {sgn}(t)}]$
        $={\frac {1}{2}}[\delta (f)+{\frac {1}{j\pi f}}]$
      ${\frac {1}{j2\pi f}}+{\frac {1}{2}}\delta (f)(={\frac {1}{j\omega }}+\pi \delta (\omega ))$

                                   © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.
                                                          

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傅立葉轉換定理(2)-時間比例調整(time scaling)

已知：$\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)(\mathrm {X} _{\omega }(\omega ))$ 則：$\chi (at)\leftrightarrow {\frac {1}{\mid a\mid }}\mathrm {X} ({\frac {f}{a}})({\frac {1}{\mid a\mid }}\mathrm {X} _{\omega }({\frac {\omega }{a}}))$ 信號在時域的時間參數t做等比例放大或縮小a倍，此程序在頻域的頻率參數f 縮小或放大${\frac {1}{a}}$倍，同時振幅大小也縮小或放大\frac{1}{\mid1\mid}倍。訊號在時間軸壓縮$(a>1)$則其頻譜會擴張；反之，信號在時間擴張 $(a<1)$則其頻譜會壓縮。

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傅立葉轉換定理(2)-時間比例調整(time scaling)

【證明】(1) a>0 $\Im \chi (at)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (at)e^{-j2\pi ft},dt$

                                                                令$at=\tau$

$={\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\chi (\tau )e^{-j2\pi {\frac {f}{a}}\tau },d\tau$ $={\frac {1}{a}}\mathrm {X} ({\frac {f}{a}})$

(2) a<0 $\Im \chi (at)=-{\frac {1}{a}}\mathrm {X} ({\frac {f}{a}})$ $\Im \chi (at)={\frac {1}{\mid a\mid }}\mathrm {X} ({\frac {f}{a}})$ #

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範例5.13

試繪出$\chi (t)=rect({\frac {t}{a}})$與$y(t)=\chi ({\frac {t}{2}})=rect({\frac {t}{4}})$之頻譜。

【解】 $\chi (t)=rect({\frac {t}{a}})\leftrightarrow \mathrm {X} (f)=2sinc(2f)$ $y(t)=\chi ({\frac {t}{2}})\leftrightarrow Y(f)=2\mathrm {X} (2f)=4sinc(4f)$

                              © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

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傅立葉轉換原理(3.)—時間反轉(time reversal)

已知：$\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)<\mathrm {X} _{\omega }(\omega )$

則$\chi (-t)\leftrightarrow \mathrm {X} (-f)<\mathrm {X} _{\omega }(-\omega )$ 明顯的，此定理為時間比例調整定理的特例。

訊號在時域的時間參數 t 反轉造成在頻域的頻率參數 f 也反轉。

若$\chi (t)$為實數，則$\Im \chi (-t)=\mathrm {X} (-f)=\mathrm {X} ^{*}(f)$

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範例5.14

試求$\chi (t)=e^{-a\mid t\mid },a>0$之傅立葉轉換。 【解】(1)$\chi (t)=e^{-a\mid t\mid }=e^{at}u(-t)+e^{-at}u(t)$ =$\chi _{1}(t)+\chi _{2}(t)$

其中$\chi _{1}(t)=e^{at}u(-t)$ $\chi _{2}(t)=e^{-at}u(t)$

明顯的，$\chi _{2}(-t)=e^{-a(-t)}u(-t)$ $=e^{at}u(-t)=\chi _{1}(t)$

故$\Im \chi _{1}(t)=\chi _{2}(-t)$ $=\mathrm {X} _{2}(-f)$

(2)由前面範例可知： $\mathrm {X} _{2}(f)=\Im \mathrm {X} _{2}(t)=\Im e^{-at}u(t)={\frac {1}{a+j2\pi f}}$ (3)$\mathrm {X} (f)=\Im \mathrm {X} (t)=\Im \mathrm {X} _{1}(t)+\mathrm {X} _{2}(t)$

                                           線性定理

 =$\Im \mathrm {X} _{1}(t)+\mathrm {X} _{2}(t)$
 =$\mathrm {X} _{2}(-f)+\mathrm {X} _{2}(f)$

 =${\frac {1}{a-j2\pi f}}+{\frac {1}{a+j2\pi f}}$
 =${\frac {2a}{a^{2}+(2\pi f)^{2}}}={\frac {2a}{a^{2}+(\omega )^{2}}}$

                                  © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

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傅立葉轉換定理(4) —乘上$t^{n}$

已知：$\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)(\mathrm {X} _{\omega }(\omega ))$

則$t^{n}\chi (t)\leftrightarrow ({\frac {1}{-j2\pi }})^{n}{\frac {d^{n}\mathrm {X} (f)}{df^{n}}}(j^{n}{\frac {d\mathrm {X} _{\omega }^{n}(\omega )}{d\omega ^{n}}})$ 【證明】證明n=1的情形：

                (1)依傅立葉轉換的公式：

$\mathrm {X} (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

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(2)等號兩邊對f微分

${\frac {d\mathrm {X} (f)}{df}}={\frac {d}{df}}\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

=$\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)[{\frac {d}{df}}e^{-j2\pi ft}]\,dt$

=$\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)-j2\pi te^{-j2\pi ft}]\,dt$

=$(-j2\pi )\int _{-\infty }^{\infty }[t\chi (t)]e^{-j2\pi ft}]\,dt$

=$(-j2\pi )\Im t{\chi (t)}$

故$t\chi (t)\leftrightarrow {\frac {1}{-j2\pi }}{\frac {d\mathrm {X} (f)}{df}}$

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範例5.15

試求下圖x(t)的傅立葉轉換。

                              © Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.

【解】

      (1)$\chi (t)$=(t) rect$({\frac {f}{2}})$
     (2)已知$\Im${rect$({\frac {f}{2}})$}=2sinc(2f)  (2sa($\omega$))
     (3)故$\Im$ {$\chi (t)$}=$\Im$ {t rect$({\frac {f}{2}})$}
       =${\frac {1}{-j2\pi }}{\frac {d}{df}}{2sinc(2f)}$       ((j)${\frac {d}{d\omega }}2sa(\omega ))$)

=j${\frac {2\pi f\cos(2\pi f)-\sin(2\pi f)}{2\pi ^{2}f^{2}}}$ (j2${\frac {\omega \cos \omega -\sin \omega }{\omega ^{2}}}$)

                             © Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.

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傅立葉轉換定理(5) —共軛複數

已知：$\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)$$(\mathrm {X} _{\omega }(\omega ))$

則$\chi ^{*}(t)\leftrightarrow \mathrm {X} ^{*}(-f)$$(\mathrm {X} _{\omega }^{*}(-\omega ))$

                      明顯的，當x(t)為實數時，$\chi ^{*}(t)=\chi (t)$故$\mathrm {X} ^{*}(-f)=\mathrm {X} (f)$即$\mathrm {X} (-f)=\mathrm {X} ^{*}(f_{0})$

【證明】$\mathrm {X} (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

     $\Longleftrightarrow \mathrm {X} (-f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{j2\pi ft}\,dt$
    $\Longleftrightarrow \mathrm {X} ^{*}(-f)$=[$\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{j2\pi ft}\,dt$]*
 =$\int _{-\infty }^{\infty }\chi ^{*}(t)e^{-j2\pi ft}]\,dt$
 =$\Im$ {$\chi ^{*}(t)$}

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傅立葉轉換定理(6) —對偶性(duality)

已知：$\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)$ $(\mathrm {X} _{\omega }(\omega ))$

則$\mathrm {X} (t)\leftrightarrow \chi (-f)$

$\mathrm {X} _{\omega }(t)\leftrightarrow 2\pi x(-\omega )$

【證明】】$\chi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (f)e^{j2\pi ft}\,df$

     $\Longleftrightarrow \chi (-t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (t)e^{-j2\pi ft}\,df$
                                            變數t與f互換

    $\Longleftrightarrow \chi ^{*}(-f)$=$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$
   =$\Im$ {$\mathrm {X} (t)$}

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範例5.16

試求的傅立葉轉換。 $\chi _{b}(t)=2Wsinc(2Wt)$ 【解】：(1)已知$\chi _{a}(t)$=rect(${\frac {t}{\tau }}$) $\leftrightarrow \mathrm {X} _{a}(f)=\tau$sinc($\tau f$)

(2)依據對偶性知：$\mathrm {X} _{a}(t)=\tau$sinc($\tau t$)$\leftrightarrow \chi _{a}(-f)$=rect(${\frac {-f}{\tau }}$)=rect(${\frac {f}{\tau }}$)rect為偶函數

(3)將上式$\tau$用2W代可得 $\chi _{b}(t)=\mathrm {X} _{a}(t)\mid _{\tau }=2W$ $\leftrightarrow <math>\mathrm {X} _{b}(f)=\chi _{a}(-f)\mid _{\tau }=2W$ =2Wsinc(2Wt) =rect(${\frac {f}{2W}}$)

                       © Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

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傅立葉轉換定理(7) —時移(time shift)

已知：

X(T)$\leftrightarrow$x(f) $(X_{\omega }(\omega ))$

則

$x(t-t_{0})\leftrightarrow X(f)e^{-j2\pi ft_{0}}(X_{\omega }(\omega )e^{-j\omega t_{0}})$

訊號在時間軸上平移(訊號超前或延遲)在頻域的效果相當於在原訊號的相位頻譜加上一個線性變化量$-2\pi ft_{0}$，此變化量稱為傅立葉轉換X(f)的線性相位平移(linear phase shift) 。

$\Im$ {$x(t-t_{0})$} =$\int _{-\infty }^{\infty }x(t-t_{0})e^{-j2\pi ft}\,dt$ =$(\Rightarrow$令$\tau =t-t_{0},t=\tau +t_{0}\Rightarrow d\tau =dt)\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{-j2\pi f(\tau +t_{0})}\,d\tau$ =$e^{-j2\pi ft_{0}}\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau$ =$e^{-j2\pi ft_{0}}X(f)$

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範例5.17

已知$\Im$ {$\delta (t)$} = 1，試求$\delta (t-t_{0})$ 的傅立葉轉換。

【解】

$\Im$ {$\delta (t-t_{0})$} =$e^{-j2\pi ft_{0}}$$\Im$ {$\delta (t)$} =$e^{-j2\pi ft_{0}}*1$ =$e^{-j2\pi ft_{0}}$

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範例5.18

重複範例5.4，試求$x_{b}(t)=rect(t+{\frac {1}{2}})-rect(t-{\frac {1}{2}})$ 的傅立葉轉換。

【解】：

(1)已知$rect(t)\leftrightarrow \sin c(f)$

(2)根據時移定理知:

$rect(t+{\frac {-1}{2}})$$\leftrightarrow \sin c(f)e^{-j2\pi f({\frac {-1}{2}})}$ =$\sin c(f)e^{j\pi f}$

$rect(t-{\frac {1}{2}})$$\leftrightarrow \sin c(f)e^{-j2\pi f({\frac {1}{2}})}$ =$\sin c(f)e^{-j\pi f}$

(3)故

$\Im$ {$x_{b}(t)$} =$\Im$ {$rect(t+{\frac {1}{2}})$} - $\Im$ {$rect(t-{\frac {1}{2}})$} =$\sin c(f)[e^{j\pi f}-e^{-j\pi f}]$ =$\sin c(f)2j\sin(\pi f)$ =$\sin c(f)2j\pi f{\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}$ =$j2\pi f\sin c^{2}(f)$

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時移定理補充說明

由時移定理知，對於$t_{0}$時間的延遲將會造成$2\pi ft_{0}$的相移，此一相移量與頻率 f 成正比。也就是說，針對$t_{0}$時間的延遲，訊號的高頻成分會有較大的相位移，而低頻部分則相移較小。

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傅立葉轉換定理(8) —頻移(frequency shift)

已知：

$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega )$

則

$x(t)e^{j2\pi f_{0}t}\leftrightarrow X(f-f_{0})$

$x(t)e^{j\omega _{0}t}\leftrightarrow X_{\omega }(\omega -\omega _{0}))$

訊號在時域乘上ㄧ複指數訊號$e^{j2\pi f_{0}t}$，在頻域的效果相當於訊號的頻譜在頻率軸上平移$f_{0}$ 。

頻移定理與時移定理互為對偶定理。

【證明】

$\Im$ {$x(t)e^{j2\pi f_{0}t}$} =$\int _{-\infty }^{\infty }[x(t)e^{j2\pi f_{0}t}]e^{-j2\pi ft}\,dt$ ==$\int _{-\infty }^{\infty }[x(t)e^{-j2\pi (f-f_{0})t}]\,dt$ =$X(f-f_{0})$

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範例5.19—調變原理(modulation)

已知$x(t)\leftrightarrow X(f)$ ，試求(a)$y_{1}(t)=x(t)\cos {2\pi f_{0}t}$(b)$y2(t)=x(t)\sin {2\pi f_{0}t}$ 的傅立葉轉換。

【解】 (a)

(1)$y_{1}(t)=x(t)\cos {2\pi f_{0}t}$ =$x(t){\frac {e^{j2\pi f_{0}t}+e^{j2\pi f_{0}t}}{2}}$ =${\frac {1}{2}}[x(t)^{j2\pi f_{0}t}+x(t)^{-j2\pi f_{0}t}]$

(2)$\Im$ {$y_{1}(t)$} =${\frac {1}{2}}[\Im$ {$x(t)e^{j2\pi f_{0}t}$}+$\Im$ {$x(t)e^{-j2\pi f_{0}t}$}] =${\frac {1}{2}}$ {$X(f-f_{0})+X(f+f_{0})$}

(b)

(1)$y_{2}(t)x(t)\sin {2\pi f_{0}t}$ =$x(t){\frac {e^{j2\pi f_{0}t}-e^{j2\pi f_{0}t}}{2j}}$ =${\frac {1}{2j}}[x(t)^{j2\pi f_{0}t}-x(t)^{-j2\pi f_{0}t}]$

(2)$\Im$ {$y_{2}(t)$} =${\frac {1}{2j}}$ {$X(f-f_{0})-X(f+f_{0})$}

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範例5.20

試求$x_{1}(t)$ =$rect({\frac {t}{2}})\cos {20\pi t}$的傅立葉轉換。

【解】 已知 $rect({\frac {t}{2}})\cos 20\pi t\leftrightarrow 2\sin c(2f)$

故

$X_{1}(f)$ =$\Im$ {$x_{1}(t)$} =$\sin c[2(f-10)]+\sin c[2(f+10)]$

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傅立葉轉換定理(9) —旋積定理(convolution)

已知：

$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega )$

$y(t)\leftrightarrow Y(f)(Y_{\omega }(\omega )$

則

$x(t)*y(t)$ =$\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )y(t-\lambda )\,d\lambda \leftrightarrow X(f)Y(f)(X_{\omega }(\omega )Y_{\omega }(\omega ))$

兩個訊號在時域做旋積運算相當於此二訊號在頻域相乘。

【證明】︰

(1)令$z(t)=x(t)*y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )y(t-\lambda )\,d\lambda \Rightarrow Z(f)$ = $\Im$ {$z(t)$} =$\int _{-\infty }^{\infty }[\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )y(t-\lambda )\,d\lambda ]e^{-j2\pi ft}dt$交換積分順序$\Rightarrow Z(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )[\int _{-\infty }^{\infty }y(t-\lambda )e^{-j2\pi ft}dt]\,d\lambda$

【證明】

(2)根據時移定理：$\int _{-\infty }^{\infty }y(t-\lambda )e^{-j2\pi ft}dt=Y(f)e^{-j2\pi f\lambda }$

(3)故$Z(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )Y(f)e^{-j2\pi f\lambda }\,d\lambda =[\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )e^{-j2\pi f\lambda }\,d\lambda ]Y(f)=X(f)Y(f)$

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範例5.21

試求方波$x(t)=rect({\frac {t}{\tau }})$自己做旋積運算後的傅立葉轉換。

【解】

(1)已知$rect({\frac {t}{\tau }})\leftrightarrow \tau \sin c(\tau f)$

(2)令$y(t)=x(t)*x(t)=rect({\frac {t}{\tau }})*rect({\frac {t}{\tau }})$

根據旋積定理知：$Y(f)$ = $\Im$ {$y(t)$} = $\Im$ {$x(t)*x(t)$} = $X(f)X(f)$ = $\tau ^{2}\sin c^{2}(\tau f)$

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範例5.22—三角波的傅立葉轉換

定義：

$x(t)$ = $\Lambda ({\frac {t}{\tau }})$$\equiv$${\begin{cases}{1-|t|/\tau },&{|t|<\tau }\\0,&other\end{cases}}$

試求其傅立葉轉換。

【解】

(1)根據旋積運算公式及三角波的定義知：$rect({\frac {t}{\tau }})*rect({\frac {t}{\tau }})=\tau \Lambda ({\frac {t}{\tau }})$

(2)又由範例5.21可知：：$rect({\frac {t}{\tau }})*rect({\frac {t}{\tau }})\leftrightarrow \tau ^{2}\sin c^{2}(\tau f)$

(3)故$\tau \Lambda ({\frac {t}{\tau }})\leftrightarrow \tau ^{2}\sin c^{2}(\tau f)\Leftrightarrow \Lambda ({\frac {t}{\tau }})\leftrightarrow \tau \sin c^{2}(\tau f)$

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系統的轉換函數(transfer function)

一線性非時變系統對輸入訊號 x(t) 的響應可表示為

其中h(t) 為系統的單位脈衝響應

將$y(t)=x(t)*h(t)$取傅立葉轉換可得：$Y(f)=X(f)H(f)$

其中$H(f)$ = $\Im$ {$h(t)$}

H(f)稱為系統的轉換函數(transfer function) ；或稱為系統的頻率響應(frequency response) 。

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傅立葉轉換定理(10) —乘積定理(multiplication)

已知：

$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega ))$

$y(t)\leftrightarrow Y(f)(Y_{\omega }(\omega ))$

則

$x(t)y(t)\leftrightarrow X(f)*Y(f)({\frac {1}{2\pi }}X_{\omega }(\omega )*Y_{\omega }(\omega ))$

明顯的，乘積定理與旋積定理互為對偶定理。

【證明】︰

$\Im$ {$x(t)y(t)$} = $\int _{-\infty }^{\infty }x(t)y(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ = $\int _{-\infty }^{\infty }[\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )e^{j2\pi \lambda t}dt]y(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ = $\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )[\int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-j2\pi (f-\lambda )t}dt]d\lambda$ = $\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )Y(f-\lambda )d\lambda$ = $X(f)*Y(f)$

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範例5.23

試求餘弦脈波函數(cosinusoidal pulse)

$x(t)=Arect({\frac {t}{\tau }})\cos {2\pi f_{0}t}$

的傅立葉轉換。

【解】

(1)已知$Arect({\frac {t}{\tau }})\leftrightarrow A\tau \sin c(\tau f)$ $\cos(2\pi f_{0}t)\leftrightarrow {\frac {1}{2}}$ {$\delta (f-f_{0})+\delta (f+f_{0})$}

(2)依據乘積定理可知：

$X(f)$ = $\Im$ {$x(t)$} = $\Im$ {$Arect(frac{t}{\tau })$} * $\Im$ {$\cos(2\pi f_{0}t)$} = $A\tau \sin c(\tau f)$ * ${\frac {1}{2}}$ {$\delta (f-f_{0})+\delta (f+f_{0})$}$(\Rightarrow f(x)*\delta (x\pm x_{0})=f(x\pm x_{0})$ = ${\frac {A\tau }{2}}$ {$\sin c[\tau (f-f_{0})]+\sin c[\tau (f+f_{0})]$}

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傅立葉轉換定理(11) —時域微分(time-domain differentiation)

已知：

$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega ))$

若 x(t) 可微分，則

${\frac {d^{n}x(t)}{dt^{n}}}$$\leftrightarrow$$(j2\pi f)^{n}X(f)((j\omega )^{n}X_{\omega }(\omega ))$

在時域對 x(t) 作微分相當於在頻域乘上$(j2\pi f)$ 。由於$(j2\pi f)$的大小與頻率 f 成正比，故頻率越高的成分將會乘上越大的倍數。也就是說，微分的動作會對高頻有放大的效果。

時域微分定理與定理(4)乘上$t^{n}$定理互為對偶定理。

【證明】

(1)已知$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}\,df$

(2)等號兩邊分別對 t 微分：${\frac {dx(t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}[\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}\,df]$ = $\int _{-\infty }^{\infty }X(f){\frac {d}{dt}}(e^{j2\pi ft})\,df$ = $\int _{-\infty }^{\infty }X(f)(j2\pi f)e^{j2\pi ft}\,df$ = $\int _{-\infty }^{\infty }[(j2\pi f)X(f)]e^{j2\pi ft}\,df$

【證明】

(3)故${\frac {dx(t)}{dt}}\leftrightarrow (j2\pi f)X(f)$

(4)重複上述步驟可得${\frac {d^{n}x(t)}{dt^{n}}}\leftrightarrow (j2\pi f)^{n}X(f)$

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傅立葉轉換定理(12) —時域積分(time-domain integration)

已知：$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega ))$

則

$\int _{-\infty }^{t}x(\lambda )\,d\lambda \leftrightarrow {\frac {1}{j2\pi f}}X(f)+X(0)\delta (0)$

$({\frac {1}{j\omega }}X_{\omega }(\omega )+X_{\omega }(0)\delta (\omega ))$

在時域對 x(t) 作積分相當於在頻域除以$(j2\pi f)$，故積分會衰減訊號的高頻部份。

公式中，$X(0)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ ,dt$。 若$X(0)=0$，則公式可簡化為：$\int _{-\infty }^{t}x(\lambda )\,d\lambda \leftrightarrow {\frac {1}{j2\pi f}}X(f)({\frac {1}{j\omega }}X_{\omega }(\omega ))$

【證明】

(1)根據旋積運算的定義：$x(t)*u(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )u(t-\lambda )\ ,d\lambda =\int _{-\infty }^{t}x(\lambda )\,d\lambda$

(2)$\Im$ {$\int _{-\infty }^{t}x(\lambda )\,d\lambda$ } = $\Im$ {$x(t)*u(t)$}

【證明】︰

(3)根據旋積定理：$\Im$ {$\int _{-\infty }^{t}x(\lambda )\,d\lambda$ } = $\Im$ {$x(t)*u(t)$} = $\Im$ {$x(t)$} $\Im$ {$u(t)$} = $X(f)[{\frac {1}{j2\pi f}}+{\frac {1}{2}}\delta (f)]$ = ${\frac {1}{j2\pi f}}X(f)+{\frac {1}{2}}X(f)\delta (f)$ = ${\frac {1}{j2\pi f}}X(f)+{\frac {1}{2}}X(0)\delta (f)$

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範例5.24

試求下圖 x(t) 的傅立葉轉換。

【解法1】 (1)令$y(t)={\frac {dx(t)}{dt}},z(t)={\frac {dy(t)}{dt}}\Rightarrow x(t)=\int _{-\infty }^{t}y(\lambda )\,d\lambda ,y(t)=\int _{-\infty }^{t}z(\tau )\,d\tau$

(2)由上圖知：$z(t)=K[\delta (t+b)-\delta (t+a)-\delta (t-a)+\delta (t-b)]$

其中($K={\frac {dx(A)}{b-a}}$)

故

$Z(f)$ = $\Im$ {$z(t)$} = $K[e^{j2\pi fb}-e^{j2\pi fa}-e^{-j2\pi fa}+e^{-j2\pi fb}]$ = $2K[\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}]$

(3)根據時域積分定理：

$y(t)=\int _{-\infty }^{t}z(\tau )\,d\tau$

$\Rightarrow Y(f)={\frac {1}{j2\pi f}}Z(f)+{\frac {1}{2}}Z(0)\delta (f)=2K[{\frac {\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}}{j2\pi f}}]+0=2K[{\frac {\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}}{j2\pi f}}]$

(4)因$x(t)=\int _{-\infty }^{t}y(\lambda )\,d\lambda$，再一次利用時域積分定理：

$X(f)={\frac {1}{j2\pi f}}Y(f)+{\frac {1}{2}}Y(0)\delta (f)=2K[{\frac {\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}}{j2\pi f}}]+0$$(\Rightarrow Y(0)=\int _{-\infty }^{\infty }y(t)\,dt=0,\cos 2\theta =1-2\sin ^{2}\theta )$ = $2K{\frac {(1-2\sin ^{2}\pi fb)-(1-2\sin ^{2}\pi fa)}{-(2\pi f)^{2}}}$ = $K{\frac {\sin ^{2}\pi fb-\sin ^{2}\pi fa}{(\pi f)^{2}}}$ = K[ $b^{2}\sin c^{2}(fb)-a^{2}\sin c^{2}(fa)$ ]

【解法2】

(1)由圖可知：$X(t)=B\Lambda ({\frac {t}{b}})-(B-A)\Lambda ({\frac {t}{a}})$

其中$B={\frac {Ab}{(b-a)}}$

(2)故$X(f)$ = $\Im$ {$x(t)$} = B$\Im$ {$\Lambda ({\frac {t}{b}})$} - $(B-A)$$\Im$ {$\Lambda ({\frac {t}{a}}$} = $Bb\sin c^{2}(bf)-(B-A)a\sin c^{2}(af)$