訊號與系統/訊號的大小

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訊號的大小

$\bullet$ 訊號的大小可以用訊號的總能量(total energy)或平均功率(average power)來表示 。

$\bullet$ 假設 : 負載為1歐姆電阻的訊號 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 。

$\bullet$ 訊號的總能量

  $\star$ 實數訊號 :     ${\boldsymbol {E_{x}}}$=$\int _{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}(t)\,dt$

  $\star$ 複數訊號 :     ${\boldsymbol {E_{x}}}$=$\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{x(t)}\right|^{2}dt$

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訊號的大小

$\bullet$ 訊號的平均功率 : 訊號的總能量除以總時間 。

  $\star$ 實數訊號 :      ${\boldsymbol {P_{x}}}$ = $\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}$$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}{x}^{2}(t)\,dt$

  $\star$ 複數訊號 :      ${\boldsymbol {P_{x}}}$ = $\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}$$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\left|{x(t)}\right|^{2}dt$

$\bullet$ ${\boldsymbol {P_{x}}}$ 是${\boldsymbol {x(t)}}$的均方值(meam-square value)

  $\Rightarrow$ ${\sqrt {P_{x}}}$ 是${\boldsymbol {x(t)}}$的均方根值(rms,root meam-square value)

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範例1.1

試以總能量或平均功率表示(a) . (b)兩訊號的大小 。

                                   圖出處 © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

【解】

   當 $\left|{t}\right|$ $\to$ $\infty$ 訊號(a)的大小趨近為 $0$ 。所以可用總能量來表示 :
          
          
          $E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{x}^{2}(t)\,dt=\int _{-1}^{0}{2}^{2}\,dt+\int _{0}^{\infty }{4}e^{-t}\,dt=4+4=8$ 

因為訊號 (b) 為週期訊號，總能量 $\to$ $\infty$ 故用平均功率來表示  :

$P_{x}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}{x}^{2}(t)\,dt={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}{x}^{2}(t)\,dt={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{x}^{2}(t)\,dt={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{t}^{2}\,dt={\frac {1}{3}}$
                         $\Downarrow$
                
                 因為週期訊號同樣的波形一再重複出現，
                   故只積分一個週期即可。

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範例1.2

計算訊號 $\mathbf {y(t)}$ = $Ae^{j2\pi f_{0}t}$ 的平均功率 。

【解】

    因為    $y(t+{\frac {1}{f_{0}}})=Ae^{j2\pi f_{0}(t+{\frac {1}{f_{0}}})}$
                      = $Ae^{j2\pi f_{0}t}$$e^{j2\pi f_{0}({\frac {1}{f_{0}}})}$
                     
                    = $Ae^{j2\pi f_{0}t}$ $e^{j2\pi }$
     
                    = $Ae^{j2\pi f_{0}t}$
    
                    = $\mathbf {y(t)}$
   
    所以是一個週期訊號 。  

     故其平均功率為 :
                 ${P_{y}}=f_{0}\int _{t_{1}}^{t_{1}+({\frac {1}{f_{0}}})}\left|Ae^{j2\pi f_{0}t}\right|^{2}\,dt$
                    
                    = ${\boldsymbol {f_{0}}}$$\int _{t_{1}}^{t_{1}+({\frac {1}{f_{0}}})}A^{2}\,dt$
                      
                    = ${\boldsymbol {A^{2}}}$

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