高中数学(版聊式)/第2节:集合间的关系与运算

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集合间的关系与运算[编辑]

集合间的关系[编辑]

包含:对两个集合A和B,如果对任意的x∈A,都有x∈B成立,那么称A包含于B(或B包含A),记做A⊆B,此时称A是B的子集。另外,在A⊆B的基础上,如果还存在x∈B,并且x∉A,那么称A是B的真子集,A真包含于B。

相等:对两个集合A和B,如果既有A⊆B,又有B⊆A,那么称A和B相等,记做A=B。

例如,设A={1,2,3} B={2,3},则B⊆A,且是真包含。

集合间的包含关系满足以下三个性质:

  1. 自反性:对任意集合A,都有A⊆A成立。
  2. 反对称性:对于集合A和B,如果A⊆B,又有B⊆A,那么A=B。
  3. 传递性:对集合A、B、C。如果A⊆B,又有B⊆C,那么A⊆C。

我们只证明3:对任意的x∈A,由于A⊆B,有x∈B,又由于B⊆C,有x∈C,于是A⊆C。

另外,规定存在一个集合不包含任何元素,记做∅,读作空集。并且规定对任意集合A,∅⊆A。

集合的运算:[编辑]

(1)交集和并集:

定义:A∩B={x|x∈A并且x∈B},称为A和B的交集,读作“A交B”。 A∪B={x|x∈A或者x∈B},称为A和B的并集,读作“A并B”。 (注意,此处“或者”指可兼或,即即使既有p成立,又有q成立,那么“p或者q”依旧被视为真命题。)

例如:A={1,2,3} B={2,3,4},那么A∩B={2,3},A∪B={1,2,3,4}

交集和并集运算具有以下性质:

  1. A∩A=A A∪A=A
  2. A∩∅=∅ A∪∅=A
  3. A⊆B 当且仅当 A∩B=A 当且仅当 A∪B=B
  4. A∩B⊆A⊆A∪B,A∩B⊆B⊆A∪B
  5. 结合律:(A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
  6. 分配律:(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

证明是容易的,我们只选择6的第一条证明,其余读者可自行补证。

证明:

对任意的x∈(A∪B)∩C,依定义,有x∈(A∪B),并且x∈C。而x∈(A∪B)即为x∈A或者x∈B。若x∈A,由x∈C,有x∈(A∩C)。若x∈B,由x∈C,有x∈(B∩C)。即是说,x∈(A∩C)或者x∈(B∩C),因此x∈(A∩C)∪(B∩C)。于是(A∪B)∩C⊆(A∩C)∪(B∩C)。 反之,对任意的x∈(A∩C)∪(B∩C),则x∈(A∩C)或者x∈(B∩C),若x∈(A∩C),则x∈A并且x∈C,由④,A⊆A∪B,故x∈A∪B且x∈C,因此x∈(A∪B)∩C。同理对x∈(B∩C)的情况同样可证x∈(A∪B)∩C。于是(A∩C)∪(B∩C)⊆(A∪B)∩C。 依集合相等的定义,(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。

注:读者可能觉得上述证明十分啰嗦,明明是“显然正确”的事实我们为什么要花这么多篇幅去证明它。这是为了让大家养成依靠“逻辑推导”而非“主观感觉”判断正误的习惯,而这正是数学与其他自然科学本质性的区别之一。

(2)集合的差和集合的补集

定义:A\B={x|x∈A并且x∉B},读作“A差B”。

例如:A={1,2,3} B={2,3,4},则A\B={1}

注意:写A\B,并不意味着B是A的子集,差也不一定具有“数”的差的性质,在使用时务必注意这一点。

定义:有时我们指定我们全部的研究对象所在的集合为全集,通常用U表示。在给定了全集的基础上,A⊆U的补集定义为U\A,记做AC(补集的记号有很多种,故在书中出现时请查阅上下文,留心作者使用哪种记号)。

例如:U={1,2,3,4} A={2,3},则AC={1,4}。

设全集为U,A、B、C均为U的子集,那么以下性质成立:

  1. A\B=A∩BC
  2. 德摩根律:(A∩B)C=AC∪BC,(A∪B)C=AC∩BC

证明留给读者完成。

集合间的映射[编辑]

在上一章我们介绍了集合。但是在许多问题中,仅仅有集合是不够用的。我们常常还需要一种“映射”的概念:两个集合A,B,A中的每个元素都对应B中的唯一一个元素。比如学号和人的对应,建筑物和街牌号的对应。要表示这种对应,一种方法是把对应的对象和本体都写出来,列成一个大表格。但有时候,比如这个对应:全体整数对应到它的两倍。要列出这个对应的每一组元素是不可能的,但是我只用一句话就表示出了这个对应。在数学里要表示这种对应,我们使用所谓“函数”的概念。

定义: 映射: 已知两个集合A,B,A到B的映射F是集合{(a,b)|a∈A,b∈B}的一个子集F, 满足:

(1)若(a,b)∈F,(a,c)∈F, 则b=c.

(2)任意a∈A, 存在b∈B使得(a,b)∈F.

定义: 单射: 如果一个A到B的映射F, 满足: (a,c)∈F, (b,c)∈F, 则a=b. 则称F是单射.

满射: 如果一个A到B的映射F, 满足: 任意b∈B, 存在a∈A使得(a,b)∈F, 则称F是满射.

映射通常还可以用字母f表示:

              f: A→B
                 x→f(x)
表示(x,f(x))∈F, 其中f(x)是B中的元素. 

此时A称为f的定义域, B称为f的值域.

习题[编辑]

1. 写出下列集合的并, 交 (1)A={1,2,3}, B={3,4,5} (2)A={x|x<0}, B={x|x≥-1}

2. 写出{1,2,3,4}的全部子集

3.给出A={1,2},B={1,2,3}的全部映射

4.一下哪些是单射, 哪些是满射?

(1)f(x)=x^2, A,B=全体实数

(2)f: 全体实数→全体实数

          x→2x

(3)f: (-1,1)→[0,1)

          x→x^2
i的讨论[编辑]

在看完了上一节的讨论之后,如果你在阅读这一节的时候产生了以下问题,那就说明你理解得非常深了:集合的并,交,差为什么是集合?幸好有我们曾经 提到过的“替换公理”,它指出一个集合的子集(这里就使用子集这一个词不太合适,不过既然有了后面的结论了,这里就不斟酌新词了)是集合。所以交集 ,差集都是集合。至于并集,专门有一条公理,叫“并集公理”,保证两个集合的并集也是集合。对于有限多个并集的情况,用归纳法不难得到。对于无穷多 个集合的情况,那就比较麻烦了,这里也并不打算讨论。“无穷”是个危险的词,它常常是危险的陷阱,许多看起来很明显的事实,在无穷的情况却是不成立 的。比如……请看下节。