User:Btooombtooom/微積分

近似值

例題

一

求 z=2x^2+y^2 在 (1,1,3) 的切平面。

二

說明可微分和近似。

三

說明 Δz 和 dz 的差異。

四

半徑 r 高度 h 的圓錐有 0.1 的誤差，求最大誤差。

五

40 x 60 x 75 的長方體測量時有 0.2 的誤差，求最大誤差。

連鎖律

维基百科中的相关条目：

連鎖律

例題

一

z=x²y+3x⁴、x=sin2t、y=cost

梯度

维基百科中的相关条目：

方向導數

例題

一

求 x²+y²-2x-6x+14 的方向微分。

二

sinx+e^xy

三

x²y³-4y

四

xsinyz，求方向微分和梯度。

五

xe^y

六

${\frac {80}{1+x^{2}+2y^{2}+3z^{2}}}$

七

求 ${\frac {x^{2}}{4}}+y^{2}+{\frac {z^{2}}{9}}=3$ 在 (-2,1,-3) 的切平面和法向量。

極值

例題

一

求 x²+y²-2x-6x+14 的極值。

二

求 -x²+y² 的極值。

三

求 x⁴+y⁴-4xy+1 的極值和鞍點。

四

求 (1,0,-2) 到 x+2y+z=4 的最短距離。

五

xy+2yz+2zx=12，求 V=xyz 最大值。

六

求 x²-2xy+2y 在 {(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2} 的極值。

乘數法

例題

一

xy+2yz+2zx=12，求 V=xyz 最大值。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

二

求 x²+y²=1 上 x²+2y² 的極值。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

三

求 x²+y²=1 上 x²+2y² 的極值。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

四

求 x²+y²+z²=4 上距 (3,1,-1) 最近和最遠的點。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$

五

求 x-y+z=1 和 x²+y²=1 上 x+2y+3z 的最大值。

${\begin{aligned}&\\&=\end{aligned}}$