交换代数/多项式环与理想

多项式环

给定带幺交换环 $R$ ，其一元多项式环记为 $R[x]$ 。元素是形如 $a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ 的有限和，其中 $a_{i}\in R$ 。加法逐项进行；乘法由分配律与 $x^{i}x^{j}=x^{i+j}$ 给定。若 $R$ 是整环，则 $R[x]$ 亦为整环；若 $R$ 是域，则 $R[x]$ 是主理想整环但不是域（除非常数项域退化）。

常见的嵌入：系数恒等嵌入 $R\hookrightarrow R[x]$ ，把 $a\in R$ 视为常数多项式；对任意环同态 $\varphi :R\to S$ 与元素 $s\in S$ ，存在唯一环同态 $\Phi :R[x]\to S$ 使得 $\Phi |_{R}=\varphi$ 且 $\Phi (x)=s$ ，这体现了 $R[x]$ 关于一个“自由不定元”的泛性质。

变量可增多至 $R[x_{1},\dots ,x_{n}]$ ，其构造迭代进行： $R[x_{1},\dots ,x_{n}]\cong (\cdots (R[x_{1}])[x_{2}]\cdots )[x_{n}]$ 。对任意集合 $X$ ，亦可定义多元多项式环 $R[X]$ 。

理想与生成元

在环 $A$ 中，理想 $I\subseteq A$ 是对加法封闭且对 $A$ 中元素乘法吸收的加法子群。对于 $A=R[x]$ ，若 $S\subseteq R[x]$ ，则 $(S)$ 表示由 $S$ 生成的最小理想；当 $S=\{f_{1},\dots ,f_{m}\}$ 时，也写作 $(f_{1},\dots ,f_{m})$ 。

若 $R$ 是域，则 $R[x]$ 为主理想整环，任一理想均由单个多项式生成。一般的 $R[x]$ （ $R$ 不必为域）不一定是主理想整环，但仍是诺特环：若 $R$ 是诺特，则 $R[x]$ 也是诺特（希尔伯特基定理）。

商环与评估

对 $R[x]$ 的理想 $I$ ，商环 $R[x]/I$ 通过在等价类上定义加乘得到。典型情形：若 $R$ 为域且 $f(x)\in R[x]$ 非零，则 $R[x]/(f)$ 的元素可由次数小于 $\deg f$ 的多项式代表，且当 $f$ 不可约时该商为域。

对 $a\in R$ ，评估同态 ${\rm {ev}}_{a}:R[x]\to R$ 定义为 ${\rm {ev}}_{a}\!\left(\sum a_{i}x^{i}\right)=\sum a_{i}a^{i}$ 。其核为 $(x-a)$ 当且仅当 $R$ 为整环且 $a$ 属于使代数等式成立的适当情形；在域上更具体： $\ker({\rm {ev}}_{a})=(x-a)$ 。因此 $R[x]/(x-a)\cong R$ 。

不可约性与因式分解

在域 $k$ 上， $k[x]$ 是欧几里得环，存在带余除法：对任意 $f,g\in k[x]$ （ $g\neq 0$ ），存在唯一 $q,r$ 使 $f=qg+r$ 且 $\deg r<\deg g$ 。因此 $k[x]$ 是主理想整环与唯一分解整环。不可约多项式在 $k[x]$ 中类似素数，任何非常数多项式可唯一（至单位与次序）分解为不可约因子。

常用判别法包括艾森斯坦判别法：若存在素数 $p\in \mathbb {Z}$ 使得 $p$ 整除所有非首项系数、 $p$ 不整除首项系数且 $p^{2}$ 不整除常数项，则该整系数多项式在 $\mathbb {Q} [x]$ 中不可约。

代数与几何的桥梁

若 $k$ 为代数闭域，则阿芬几何中把多项式函数的零点集与理想联系起来：给定 $I\subseteq k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ ，其零点集 $V(I)$ 是 $k^{n}$ 中同时满足 $I$ 中全部多项式为零的点集；而对代数集 $X\subseteq k^{n}$ ，定义其消去理想 $I(X)=\{f:f|_{X}\equiv 0\}$ 。强形式的诺特–零点定理叙述了在代数闭域上 $I(V(I))={\sqrt {I}}$ ，其中 ${\sqrt {I}}$ 为 $I$ 的根理想。这一对应把“理想的根性”与“几何零点”的闭包现象联系起来。

主理想整环情形

- 若 $R$ 为域，则：

 *  $R[x]$  为欧几里得环，理想均为  $(f)$  的形式；
 * 对任意  $f,g$ ，存在最大公因子  $\gcd(f,g)$ ，并可由扩展欧几里得算法表为  $af+bg=\gcd(f,g)$ 。

- 若 $R$ 为主理想整环，则 $R[x]$ 一般不再为主理想整环，但仍为唯一分解整环当 $R$ 是UFD时成立，且 $R[x]$ 亦为UFD。

理想运算

给定 $I,J\subseteq R[x]$ ： - 和： $I+J=\{f+g:f\in I,g\in J\}$ ； - 交： $I\cap J$ ； - 积： $IJ=\left\{\sum _{k}f_{k}g_{k}:f_{k}\in I,g_{k}\in J\right\}$ ； - 商： $(I:J)=\{h\in R[x]:hJ\subseteq I\}$ 。

这些运算在代数几何与消元理论中频繁出现，例如初等分解、饱和与消元理想的构造。

多元理想与Groebner基

在 $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ 上（ $k$ 为域），选定单项式序（如字典序、分次字典序），每个非零多项式有首项 ${\rm {LT}}(f)$ 。理想 $I$ 的Gröbner基是有限集合 $G\subset I$ ，使得 $\langle {\rm {LT}}(I)\rangle =\langle {\rm {LT}}(G)\rangle$ 。其性质包括： - 提供一套标准形，决定了在商 $k[x]/I$ 中的唯一余式表示； - 使判定成员关系与理想包含变为算法问题； - 支持消元：若使用消元序， $\;G\cap k[x_{r+1},\dots ,x_{n}]$ 生成消元理想 $I\cap k[x_{r+1},\dots ,x_{n}]$ 。

Buchberger算法给出构造方法：不断添加 $S$ -多项式的约化结果直至稳定。

零因子与素理想

在 $R[x]$ 中，零因子与系数环的性质密切相关。若 $R$ 为整环，则 $R[x]$ 无零因子。理想 $P\subset R[x]$ 为素理想当且仅当 $R[x]/P$ 是整环；为极大理想当且仅当商为域。若 $R$ 为域，则极大理想恰为 $(f)$ ，其中 $f$ 为不可约多项式。

例与练习（简）

- 证明：若 $R$ 为诺特环，则 $R[x]$ 为诺特（提示：利用升链条件与系数次数的归纳）。 - 设 $k$ 为域，证明 $k[x,y]/(y^{2}-f(x))$ 的 $k$ -向量空间基可以选作所有 $x^{i}y^{j}$ ，其中 $j\in \{0,1\}$ ， $i\geq 0$ ，并给出何时该商为整环的条件。 - 在 $\mathbb {Q} [x]$ 中用艾森斯坦判别法证明 $x^{5}+10x+5$ 不可约。