国中数学/国中数学七年级/6-2 正比与反比

6-1 比例式

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国中数学七年级 6-2 正比与反比

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7-1 一元一次不等式

本单元要介绍两种常见于未知数$x$与$y$之间的关系：正比与反比。

正比

在国小曾经学过正比的观念，在这边做复习。

例题$1$ 小瑜开车的速率为每小时$40$公里。 设$x$小时之后，小瑜可以开$y$公里，列出$x$与$y$的关系式。 利用你列的关系式，完成下列表格。 $x$(小时) 1 2 3 4 $y$(公里) 40

解 因为距离$=$速率$\times$时间，所以$x$与$y$的关系式为$y=40x$。 将$y=40x$的$x$分别以$2$、$3$、$4$代入，可以分别得到$y=80$、$y=120$、$y=160$，故列表如下： $x$(小时) 1 2 3 4 $y$(公里) 40 80 120 160

• 在例题$1$中，我们发现：只要$x$值变为原本的$t$倍$(t\neq 0)$，$y$值也变为原本的$t$倍，则我们称$y$与$x$的关系成正比。
• 若$y$与$x$的关系成正比的时候，$y:x$的比值会固定下来，即我们可以找到一个常数$k\neq 0$，使得${\color {Red}{\frac {y}{x}}=k}$恒成立，整理之后可得${\color {Red}y=kx}$。

接下来我们来练习判断成正比的关系。

例题$2$ 已知骆澄今年$x$岁，骆澄的邻居王叔叔今年$y$岁，他们的年龄关系如下表所示。 $x$(岁) 1 2 3 4 $y$(岁) 40 41 42 43 请问$y$与$x$是否成正比？

解 我们计算${\frac {40}{1}}\neq {\frac {41}{2}}$，两者并不相等，所以$y$与$x$不成正比。

在这个例子我们可以发现：虽然$x$在增加，$y$也在增加，但是$y$与$x$的关系却不一定成正比。那如果$x$增加，$y$却减少，$y$与$x$的关系就一定不成正比吗？
随堂练习
已知$x$与$y$的关系如下表所示。

$x$	5	6	7	8
$y$	－15	－18	－21	－24

请问$y$与$x$是否成正比？
我们在上面的随堂练习发现，如果$y$与$x$的比值是负数的时候，$x$值增加，$y$值却减少，但是$y$与$x$的关系依然成正比。

正比关系式的应用

如果已知$y$与$x$成正比，那我们能透过$x$值去计算$y$值吗？答案是肯定的。反过来，我们也可以透过$y$值去计算$x$值，只要代入正比关系式$y=kx$，其中$k\neq 0$即可。另外也可以利用比例相同的原则来求值。

例题$3$ 已知$y$与$x$成正比，且当$x=5$时，$y=24$。则： $y$与$x$的关系式为何？ 当$y=-72$时，$x$值是多少？

解 设$y=kx$，将$x=5$，$y=24$代入可得$24=k\times 5$，解得$k={\frac {24}{5}}$，故$y$与$x$的关系式为$y={\frac {24}{5}}x$。 将$y=-72$代入关系式$y={\frac {24}{5}}x$中可得到$-72={\frac {24}{5}}x\Rightarrow x=-72\times {\frac {5}{24}}=-15$。

随堂练习
已知$y$与$x$成正比，且当$x=4$时，$y=-7$。则：

1. $y$与$x$的关系式为何？
2. 当$x=12$时，$y$值是多少？
   

例题$3$的第2小题也可以用比例式来做： $5:24=x:(-72)\Rightarrow 24x=(-72)\times 5\Rightarrow x=(-3)\times 5=-15$。
最后做一个应用问题。

例题$4$ 在不违反弹性限度的条件下，弹簧的伸长量$x$厘米与物体重量$y$公斤成正比。现有一条弹簧，这条弹簧的弹性限度是$10$公斤，若挂了一个$2$公斤的物体，弹簧拉长了$5$厘米。 写出$y$与$x$的关系式。 如果弹簧被拉长$16$厘米，代表物体的重量是几公斤？

解 设$y=kx$，将$x=5$，$y=2$代入可得$2=k\times 5$，解得$k={\frac {2}{5}}$，故$y$与$x$的关系式为$y={\frac {2}{5}}x$。 将$x=16$代入关系式$y={\frac {2}{5}}x$中可得到$y={\frac {2}{5}}\times 16={\frac {32}{5}}$(公斤)。

随堂练习
某服饰店的衣服原价$x$元，打折之后的售价为$y$元，且$y$与$x$成正比，而且原本要价$4000$元的外套，现在的售价为$2800$元，则：

1. $y$与$x$的关系式为何？
2. 售价为$1260$元的洋装，它的原价是多少元？
   

反比

那什么是反比呢？

例题$5$ 有一个长方形的面积固定是$120$平方厘米。 假设长方形的长为$x$厘米，宽为$y$厘米，列出$x$与$y$的关系式。 利用你列的关系式，完成下列表格。 $x$(厘米) 1 2 3 4 $y$(厘米) 120

解 因为面积$=$长$\times$宽，所以$x$与$y$的关系式为$120=xy$。 将$120=xy$的$x$分别以$2$、$3$、$4$代入，可以分别得到$y=60$、$y=40$、$y=30$，故列表如下： $x$(厘米) 1 2 3 4 $y$(厘米) 120 60 40 30

随堂练习
晓晴带$400$元到文具行买铅笔，假设每支铅笔$x$元，晓晴刚好可以买$y$枝。

1. 列出$x$与$y$的关系式。
2. 利用你列的关系式，完成下列表格。

价格$x$(元)	5	8	10	16
数量$y$(枝)

• 反比的概念是：若$x$值变为原本的$t$倍$(t\neq 0)$，$y$值会变为原本的${\frac {1}{t}}$倍，则我们称$y$与$x$的关系成反比。
• 若$y$与$x$的关系成反比的时候，$xy$的乘积会固定下来，即我们可以找到一个常数$k\neq 0$，使得${\color {Red}xy=k}$恒成立。

 假設$x'=tx$，那麼對應的$y'={\frac {y}{t}}$，計算$x'y'=(tx)({\frac {y}{t}})=xy$，所以$xy$的乘積會固定下來。

• 把$xy=k$移项变成$y={\frac {k}{x}}=k({\frac {1}{x}})$，我们发现：$y$会和${\frac {1}{x}}$成正比。

接下来我们来练习判断成反比的关系。

例题$6$ 已知白天有$x$小时，夜晚就有$y$小时，其关系如下表所示。 白天$x$(小时) 10 11 12 13 夜晚$y$(小时) 14 13 12 11 请问$y$与$x$是否成反比？

解 我们计算$10\times 14\neq 11\times 13$，两者并不相等，所以$y$与$x$不成反比。

在这个例子我们可以发现：虽然$x$值增加时，$y$值在减少，但是$y$与$x$的关系却不一定成反比。那如果$x$值增加，$y$值也增加，$y$与$x$的关系就一定不成反比吗？
随堂练习
已知$x$与$y$的关系如下表所示。

$x$	4	5	6	8
$y$	－60	－48	－40	－30

请问$y$与$x$是否成反比？
我们在上面的随堂练习发现，如果$y$与$x$的乘积是负数的时候，$x$值增加，$y$值也会跟着增加，但是$y$与$x$的关系依然成反比。

反比关系式的应用

如果已知$y$与$x$成反比，那我们能透过$x$值去计算$y$值吗？答案是肯定的。反过来，我们也可以透过$y$值去计算$x$值，只要代入反比关系式$xy=k$，其中$k\neq 0$即可。

例题$7$ 已知$y$与$x$成反比，且当$x=5$时，$y=24$。则： $y$与$x$的关系式为何？ 当$y=-72$时，$x$值是多少？

解 设$xy=k$，将$x=5$，$y=24$代入可得$k=5\times 24=120$，故$y$与$x$的关系式为$xy=120$。 将$y=-72$代入关系式$xy=120$中可得到$-72x=120\Rightarrow x=120\div (-72)=-{\frac {5}{3}}$。

随堂练习
已知$y$与$x$成反比，且当$x=6$时，$y=-10$。则：

1. $y$与$x$的关系式为何？
2. 当$x=5$时，$y$值是多少？