平方数

平方数是可以排成正方形的数。

前几个正方形数是（OEIS中的数列A000290）：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。

性质

• 四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。三个平方数的和无法表示形如 4^k(8m + 7) 的数。
• 在十进制中，平方数只能以 0，1，4，6，9 或 25 结尾：

1. 若一个数以 0 结尾，它的平方数以 0 结尾（除 0 外，其他数字的个位和十位数字都是 0 ），且00前面的数也是平方数（例如：0x0=0、10x10=100）
2. 若一个数以 1 或 9 结尾，它的平方数以 1 结尾，且前面的一位数字是偶数（例如：1x1=1、11x11=121；9x9=81、19x19=361）
3. 若一个数以 2 或 8 结尾，它的平方数以 4 结尾，且前面的一位数字为偶数（例如：2x2=4、12x12=144；8x8=64、18x18=324）
4. 若一个数以 3 或 7 结尾，它的平方数以 9 结尾，且前面的一位数字是偶数（例如：3x3=9、13x13=169；7x7=49、17x17=289）
5. 若一个数以 4 或 6 结尾，它的平方数以 6 结尾，且前面的一位数字为奇数（例如：4x4=16、14x14=196；6x6=36、16x16=256）
6. 若一个数以 5 结尾，它的平方数以 25 结尾，且前面的一位或两位数字必定为 0，2，06，56 之一，25前面的数是普洛尼克数（例如：5x5=25、15x15=225）

• 除了00以外，平方数末2位数若相同，必为44：如12²=144，38²=1444，62²=3844。
• 除了000以外，平方数末3位数若相同，必为444：如38²=1444，462²=213444。
• 除了0000以外，平方数末4位数不可能相同。
• 除了0以外，平方数不可能是普洛尼克数。
• 除了0以外，平方数也不可能是连续若干个（至少两个）数的积。
• 除了0，1，144以外，平方数不可能是费波那契数。
• 除了1跟4以外，平方数也不可能是卢卡斯数。
• 除了0，1，169以外，平方数不可能是佩尔数。
• 除了0，1，4，19600以外，平方数不可能是四面体数。
• 除了0，1，4900以外，平方数不可能是四角锥数。
• 平方数不可能是楔形数。
• 奇数的平方数一定是八的倍数加一。
• 平方数是模任何整数的二次剩余；另外，如果某个整数是模任何整数的二次剩余，那么她一定是平方数。
• 平方数的正因数总和(含自己)一定是奇数。
• 除了0跟1之外，4900是唯一的一个平方数，它刚好等于前几个平方数的和。
• 正因数个数是奇数的数都是平方数，反之亦然。

参看

• 平方
• 立方数：平方数在立体的推广
• 四次方数：平方数在四维空间的推广
• 三角形数
• 三角平方数：同时为三角形数和平方数的数
• 多边形数