数理统计/时间序列入门

数理统计/时间序列入门

学习目标

目标项	内容
平稳性与自相关	弱平稳、ACF、PACF
基本模型	AR、MA、ARMA 与差分
季节与趋势	STL/差分、季节ARIMA

能力要点	说明
诊断图	ACF/PACF识别结构
参数估计	Yule–Walker、MLE
预测与评估	滚动预测、误差指标

平稳与自相关

弱平稳指 $\mathrm {E} (X_{t})=\mu$ 常数、协方差仅随滞后 $h$ 变化。自协方差 $\gamma (h)=\mathrm {Cov} (X_{t},X_{t+h})$，自相关 $\rho (h)=\gamma (h)/\gamma (0)$。

概念	记号	作用
ACF	$\rho (h)$	序列相关结构
PACF	局部相关	识别AR阶数
白噪声	$\mathrm {E} =0,\ \rho (h)=0(h\neq 0)$	参考基线

基本模型

AR(p)

$X_{t}=\phi _{1}X_{t-1}+\cdots +\phi _{p}X_{t-p}+\varepsilon _{t}$，$\varepsilon _{t}\sim {\mathcal {WN}}(0,\sigma ^{2})$。稳定性由特征方程根在单位圆外决定。

MA(q)

$X_{t}=\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{t-q}$。可逆性要求反向多项式根在单位圆外。

ARMA(p,q)

结合二者：$\phi (B)X_{t}=\theta (B)\varepsilon _{t}$，$B$ 为滞后算子。

模型	识别线索	备注
AR	PACF截断、ACF拖尾	稳定性判别
MA	ACF截断、PACF拖尾	可逆性判别
ARMA	二者均拖尾	需数值拟合

趋势与季节

非平稳序列可做差分 $\nabla X_{t}=X_{t}-X_{t-1}$ 或季节差分 $\nabla _{s}X_{t}=X_{t}-X_{t-s}$；STL分解用于趋势与季节提取。

处理	公式/方法	用途
一阶差分	$\nabla X_{t}$	去趋势
季节差分	$\nabla _{s}X_{t}$	去季节
STL	局部回归分解	稳健分解

ARIMA 与 SARIMA

ARIMA(p,d,q) 在差分后拟合 ARMA；季节型 SARIMA $(p,d,q)\times (P,D,Q)_{s}$ 同时含季节部分。

元素	解释	提示
p,q	非季节 AR/MA 阶数	由ACF/PACF与信息准则
d	非季节差分阶数	单位根检验辅助
P,Q,D,s	季节结构参数	结合季节ACF

估计与选择

用Yule–Walker估计AR；一般用MLE或CSS-MLE拟合ARMA/ARIMA，并用AIC/BIC与残差诊断选择模型。

步骤	目标	检查
初步识别	画ACF/PACF	看截断拖尾
参数拟合	MLE/CSS-MLE	收敛与稳定性
诊断	残差近白噪声	Ljung–Box

预测与评估

多步预测基于状态递推；评估用MAE、RMSE、MAPE，并做滚动或折叠时间窗验证避免泄露。

指标	公式简述	注意
MAE	平均绝对误差	稳健
RMSE	均方根误差	惩罚大偏差
MAPE	相对误差	零值敏感

章节测验

单选题

若序列的PACF在滞后2处截断，而ACF呈拖尾，最可能模型是：

1. MA(2)
2. AR(2)
3. ARMA(1,1)
4. 白噪声

显示答案/解析

答案：2。AR模型常见特征是PACF截断、ACF拖尾。

判断题

SARIMA模型用于同时处理非季节与季节非平稳。

1. 对
2. 错

显示答案/解析

答案：对。

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