等离子物理学/单粒子运动与回旋运动

洛伦兹力与基本轨道

• 方程：$m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$
• 匀强磁场、零电场：回旋运动，角频率 $\omega _{c}={\frac {|q|B}{m}}$，拉莫尔半径 $\rho _{L}={\frac {v_{\perp }}{\omega _{c}}}$
• 匀强电场与磁场正交：$\mathbf {E} \times \mathbf {B}$ 漂移，$\mathbf {v} _{E\times B}={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{B^{2}}}$

常见漂移（导引中心近似）

• 梯度B漂移：$\mathbf {v} _{\nabla B}={\frac {mv_{\perp }^{2}}{2qB^{3}}}\,\mathbf {B} \times \nabla B$
• 曲率漂移：$\mathbf {v} _{c}={\frac {mv_{\parallel }^{2}}{qB^{3}}}\,\mathbf {B} \times (\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {B}$
• 极向（或重力/离心）漂移：$\mathbf {v} _{F}={\frac {\mathbf {F} \times \mathbf {B} }{qB^{2}}}$
• 极化漂移（时变电场）：$\mathbf {v} _{p}={\frac {m}{qB^{2}}}{\frac {d\mathbf {E} }{dt}}$

磁矩与绝热不变量

• 第一绝热不变量：$\mu ={\frac {mv_{\perp }^{2}}{2B}}$，缓变场中近似守恒
• 磁镜效应：${\frac {v_{\parallel }^{2}}{B}}+{\frac {v_{\perp }^{2}}{B}}={\text{常数（结合}}\ \mu {\text{守恒）}}$
• 捕获条件（示意）：$\sin ^{2}\alpha _{0}\geq {\frac {B_{0}}{B_{\max }}}$

能量与相位

• 无电场时总动能守恒：${\frac {1}{2}}mv^{2}={\text{常数}}$
• 回旋相位：$\phi (t)=\phi _{0}+\omega _{c}t$
• 回旋中心（导引中心）演化由各类漂移叠加给出

小练习

1. 推导 $\mathbf {E} \times \mathbf {B}$ 漂移与电荷符号无关的原因
2. 已知 $B=2\ \mathrm {T}$，电子 $v_{\perp }=1.0\times 10^{6}\ \mathrm {m/s}$，求 $\rho _{L}$
3. 在存在 $\nabla B$ 的情形下，比较 $\mathbf {v} _{\nabla B}$ 与 $\mathbf {v} _{E\times B}$ 的量纲与典型数量级