经典力学/中心力与有效势

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中心力与有效势

• 中心力定义：力仅依赖距离$r$且指向径向，即$\mathbf {F} (r)=F(r)\,{\hat {\mathbf {r} }}$；对应势能$U(r)$满足$\mathbf {F} =-\nabla U(r)$。

• 角动量守恒：在中心力下$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$守恒，轨迹位于一平面；设角动量大小$L$为常数。

• 有效势：径向动力学可写成一维问题，定义$U_{\text{eff}}(r)=U(r)+{\dfrac {L^{2}}{2mr^{2}}}$；第二项为离心势垒，防止粒子靠近中心。

• 径向方程：能量守恒$E={\tfrac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+U_{\text{eff}}(r)$，转折点满足$U_{\text{eff}}(r)=E$。

• 圆轨道与稳定性：圆轨道半径$r_{0}$需满足${\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}{\big |}_{r_{0}}=0$；稳定性取决于${\dfrac {d^{2}U_{\text{eff}}}{dr^{2}}}{\big |}_{r_{0}}>0$。

练习

1. 对$U(r)=-{\dfrac {k}{r}}$，写出$U_{\text{eff}}(r)$并求稳定圆轨道半径$r_{0}$关于$E,L$的关系。
2. 对斥力势$U(r)=+{\dfrac {k}{r}}$，讨论是否存在束缚轨道与稳定圆轨道。