经典力学/中心力与有效势

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中心力与有效势

• 中心力定义：力仅依赖距离$r$且指向径向，即$𝐅(r)=F(r)\widehat{𝐫}$；对应势能$U(r)$满足$𝐅=-\mathrm{\nabla }U(r)$。

• 角动量守恒：在中心力下$𝐋=𝐫\times 𝐩$守恒，轨迹位于一平面；设角动量大小$L$为常数。

• 有效势：径向动力学可写成一维问题，定义$U_{\text{eff}}(r)=U(r)+\frac{L^2}{2m{r}^2}$；第二项为离心势垒，防止粒子靠近中心。

• 径向方程：能量守恒$E=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+U_{\text{eff}}(r)$，转折点满足$U_{\text{eff}}(r)=E$。

• 圆轨道与稳定性：圆轨道半径$r_0$需满足$\frac{d{U}_{\text{eff}}}{dr}{|}_{r_0}=0$；稳定性取决于$\frac{d^2{U}_{\text{eff}}}{d{r}^2}{|}_{r_0}>0$。

练习

1. 对$U(r)=-\frac{k}{r}$，写出$U_{\text{eff}}(r)$并求稳定圆轨道半径$r_0$关于$E,L$的关系。
2. 对斥力势$U(r)=+\frac{k}{r}$，讨论是否存在束缚轨道与稳定圆轨道。