经典力学/位移速度加速度

物理学 > 经典力学 > 位移、速度与加速度

经典力学/位移、速度与加速度

位移、速度与加速度是描述质点运动的核心物理量。给定参考系与时间参数$t$，质点的空间位置用矢量$\mathbf {r} (t)$表示。

位移（Displacement）

位移是位置矢量的变化量，描述从初始位置到末位置的有向量：

1. 矢量定义：$\Delta \mathbf {r} =\mathbf {r} (t_{2})-\mathbf {r} (t_{1})$。
2. 标量路程与位移不同：路程是路径长度（非负标量），位移是首尾相连的矢量。
3. 在微小时间间隔内，位移近似为$\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathbf {v} \,\mathrm {d} t$。

速度（Velocity）

速度是位置对时间的一阶导数，给出运动的瞬时方向与快慢：

1. 矢量定义：$\mathbf {v} (t)={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}$。
2. 平均速度：${\bar {\mathbf {v} }}={\dfrac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}$；瞬时速度由极限得到。
3. 曲线运动分解：$\mathbf {v} =v\,{\hat {\boldsymbol {\tau }}}$，其中$v=\|\mathbf {v} \|$为速率，${\hat {\boldsymbol {\tau }}}$为切向单位矢量。

加速度（Acceleration）

加速度是速度对时间的一阶导数（位置的二阶导数），刻画速度变化：

1. 矢量定义：$\mathbf {a} (t)={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\dfrac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}$。
2. 平均加速度：${\bar {\mathbf {a} }}={\dfrac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}$。
3. 自然标架分解（曲线运动）：$\mathbf {a} =a_{\tau }\,{\hat {\boldsymbol {\tau }}}+a_{n}\,{\hat {\mathbf {n} }}$，其中

1. 切向分量：$a_{\tau }={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}$（改变速率）。 2. 法向分量：$a_{n}={\dfrac {v^{2}}{\rho }}$（改变方向，$\rho$为曲率半径）。

常见坐标系中的表达

在不同坐标系中，$\mathbf {v}$与$\mathbf {a}$的表达不同，反映基矢随位置变化的几何效应。

1. 笛卡尔坐标（3D）：$\mathbf {r} =(x,y,z)$，

1. 速度：$\mathbf {v} =({\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})$。 2. 加速度：$\mathbf {a} =({\ddot {x}},{\ddot {y}},{\ddot {z}})$。

1. 平面极坐标（2D）：$\mathbf {r} =r\,{\hat {\mathbf {e} }}_{r}$，

1. 速度：$\mathbf {v} ={\dot {r}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{r}+r{\dot {\theta }}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }$。 2. 加速度：$\mathbf {a} =({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{r}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }$。

1. 圆周运动特例：若$r=R$常数且${\dot {\theta }}=\omega$常数，则

1. $\mathbf {v} =R\omega \,{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }$， 2. $\mathbf {a} =-R\omega ^{2}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{r}$（指向圆心的向心加速度）。

匀变速直线运动（1D）

在一维$x$轴上，若加速度恒定$a$，则

1. 速度-时间：$v(t)=v_{0}+a(t-t_{0})$。
2. 位移-时间：$x(t)=x_{0}+v_{0}(t-t_{0})+{\tfrac {1}{2}}a(t-t_{0})^{2}$。
3. 速度-位移：$v^{2}=v_{0}^{2}+2a(x-x_{0})$。

平均量与积分关系

1. 位移是速度的时间积分：$\Delta x=\int _{t_{1}}^{t_{2}}v_{x}(t)\,\mathrm {d} t$（各分量同理）。
2. 速度是加速度的时间积分：$\Delta \mathbf {v} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} (t)\,\mathrm {d} t$。
3. 路程可由速率积分给出：$s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\|\mathbf {v} (t)\|\,\mathrm {d} t$。

关于参考系的提醒

速度与加速度依赖参考系的选取：不同惯性系之间由伽利略变换关系连接；在非惯性系中需考虑惯性力，等效为在方程中加入附加项使$\sum \mathbf {F} =m\mathbf {a}$形式得以维持。