经典力学/哈密顿雅可比方程

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哈密顿-雅可比方程

• 变分到偏微分：寻找主函数 $S(\mathbf {q} ,t)$ 使得 $p_{j}={\dfrac {\partial S}{\partial q_{j}}}$。哈密顿-雅可比方程为 $H\!\left(\mathbf {q} ,{\dfrac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)+{\dfrac {\partial S}{\partial t}}=0$。

• 可分解形式：对定常系统设 $S(\mathbf {q} ,t)=W(\mathbf {q} )-Et$，得定常方程 $H\!\left(\mathbf {q} ,{\dfrac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=E$。

• 完全积分与常数：若能找到含有 $n$ 个独立常数的完全积分（$n$ 为自由度数），则可通过正则变换将系统化为平凡的动作-角坐标。

• 与几何光学类比：$S$ 类似光学的费马作用；H-J方法将力学轨迹转化为求解等位相面的偏微分问题。

• 示例（中心力）：在球坐标中分离变量，$S(r,\theta ,\phi ,t)=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+L_{z}\phi -Et$，径向部分满足有效势关系。

练习

1. 对一维谐振子$H={\tfrac {p^{2}}{2m}}+{\tfrac {1}{2}}kq^{2}$，写出定常H-J方程并尝试求$W(q)$。
2. 在中心力$U(r)$中，用分离变量法写出$S$的结构并给出可分离常数的物理意义。