经典力学/多粒子系统质心与相对坐标

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多粒子系统：质心与相对坐标

• 质心：$𝐑=\frac{1}{M}\sum _i{m}_i{𝐫}_i$，$M=\sum _i{m}_i$；总动量 $𝐏=M\dot{𝐑}$。

• 质心运动：$M\ddot{𝐑}=\sum {𝐅}_{\text{外}}$；若外力为零，$\dot{𝐑}$ 为常量。

• 两体相对坐标：$𝐫={𝐫}_1-{𝐫}_2$，约化质量 $\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$，相对运动满足 $\mu \ddot{𝐫}=𝐅(𝐫)$。

• 能量分解：$K=\frac{1}{2}M{\dot{𝐑}}^2+\frac{1}{2}\mu {\dot{𝐫}}^2$；中心力问题可化为一体在有效势 $U_{\text{eff}}(r)=U(r)+\frac{L^2}{2\mu r^2}$ 中运动。

• 多体推广：采用雅可比坐标逐层剥离整体平动，自由度组织更利于碰撞链、聚合/解体与数值积分。

• 应用

1. 完全非弹性：碰后共同速度 ${𝐯}_{\text{cm}}=\frac{𝐏}{M}$。
2. 轨道力学：行星—卫星系统等效为约化质量在中心势 $U(r)$ 下的相对运动。
3. 分子振动：分离平动与转动后，剩余为振动自由度用于光谱分析。

练习

1. 给定$m_1,m_2,{𝐫}_1,{𝐫}_2,{𝐯}_1,{𝐯}_2$，计算$𝐑,𝐏,𝐫,\dot{𝐫}$。
2. 写出一组三体雅可比坐标的定义，并说明其在数值积分中的优势（定性）。