经典力学/小振动的拉格朗日处理

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小振动的拉格朗日处理

• 平衡与二阶展开：在平衡$\mathbf {q} _{0}$附近，将势能与动能二阶化：$L={\tfrac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\top }\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}-{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {q} -\mathbf {q} _{0})^{\top }\mathbf {K} (\mathbf {q} -\mathbf {q} _{0})$。

• 正则方程：得到线性系统$\mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}+\mathbf {K} (\mathbf {q} -\mathbf {q} _{0})=\mathbf {0}$；设$\mathbf {q} (t)={\boldsymbol {\phi }}e^{i\omega t}$，有$(\mathbf {K} -\omega ^{2}\mathbf {M} ){\boldsymbol {\phi }}=\mathbf {0}$。

• 归一化与正交：模态满足${\boldsymbol {\phi }}_{i}^{\top }\mathbf {M} {\boldsymbol {\phi }}_{j}=0$；质量归一化${\boldsymbol {\phi }}_{i}^{\top }\mathbf {M} {\boldsymbol {\phi }}_{i}=1$便于模态坐标分离。

• 模态坐标：令$\mathbf {q} (t)=\sum _{i}\eta _{i}(t){\boldsymbol {\phi }}_{i}$，每个$\eta _{i}$独立满足一维简谐方程；受迫时出现独立的模态共振。

• 耗散与耦合：小阻尼可在模态坐标中引入对角阻尼近似；耦合弱时模态间能量出现拍频交换。

练习

1. 二质点三弹簧系统：写出$\mathbf {M} ,\mathbf {K}$并求本征频率与模态；用模态坐标写出通解。
2. 在小阻尼近似下，证明每个模态的品质因数$Q_{i}={\dfrac {\sqrt {m_{i}k_{i}}}{c_{i}}}$（符号化讨论，假设模态阻尼可对角化）。